【WC2016模拟】几何

Description

n<=60000,T<=5
时限0.8S

Solution

忽略掉题面最开始三个字
显然这题分为两部分
第一部分是求出Dp[i]表示i-多面体的选择方案数。
第二部分是把Dp[1]~Dp[n]组合起来。

第二部分显然可以用分治FFT来搞（求n个一次多项式的乘积），我们来看第一部分
考虑Dp[n]，枚举棱上选了多少条边，Dp[n]=∑4k=0Ck43k∑6n−12+ki=nCj−k6n−12
考虑把后边那个部分写成减法的形式，Dp[n]=∑4k=0Ck43k(26n−12−∑n−1i=0Cj−k6n−12)
观察到k很小，我们不妨直接求出∑n−1i=0Cj6n−12，剩下的加一些组合数即可。
设Bad(n)=∑n+1i=0Ci6n，显然我们要求的东西就是Bad(n−2)
考虑用范德蒙恒等式展开Bad

Bad(n)=∑i=0n+1∑j=06Ci−j6n−6Cj6

=∑j=06Cj6∑i=0n+1−jCi6(n−1)

当j=1的时候后边的部分就是Bad(n−1)，j!=1的时候照样可以加一些组合数来完成。
这样我们就解决了第一部分。

然而这道题真正恶心的是第二部分，无良出题人竟然卡常！
首先，我们可以把ω全部放到外面预处理，然后，我们其实有一个可以两次DFT做FFT的方法。
设C[i]=complex(A[i]+B[i],A[i]-B[i])，对C做DFT，然后自乘做IDFT，可以发现这时候的实部是我们要求的四倍。
然后你也不一定能卡过去~

Code

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;typedef long long ll;typedef long double db;const int N=6*1e4+5,Mo=1e5+3;const db pi=M_PI;struct complex{    db r,i;    complex (db _r=0,db _i=0) {r=_r;i=_i;}    friend complex operator + (complex x,complex y) {return complex(x.r+y.r,x.i+y.i);}    friend complex operator - (complex x ,complex y) {return complex(x.r-y.r,x.i-y.i);}    friend complex operator * (complex x,complex y) {return complex(x.r*y.r-x.i*y.i,x.r*y.i+x.i*y.r);}}A[N<<1],B[N<<1],T[N<<1],W[N<<1],t[N<<1];int n,k,Len,len,lg,Id[18][N<<1],Dp[N],fact[Mo],inv[Mo],Bad[N];int pwr(int x,int y) {    int z=1;    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%Mo)        if (y&1) z=(ll)z*x%Mo;    return z;}int C(int m,int n) {    if (n>m||m<0||n<0) return 0;    if (m<Mo&&n<Mo) return (ll)fact[m]*inv[n]%Mo*inv[m-n]%Mo;    return (ll)C(m/Mo,n/Mo)*C(m%Mo,n%Mo)%Mo;}void prepare() {    fact[0]=1;fo(i,1,Mo-1) fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%Mo;    inv[Mo-1]=pwr(fact[Mo-1],Mo-2);fd(i,Mo-2,0) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%Mo;    Bad[0]=1;    fo(i,1,N) {        int now=(Bad[i-1]+C(6*i-6,i+1))%Mo;        fo(j,0,6) {            (Bad[i]+=now*C(6,j)%Mo)%=Mo;            (now+=Mo-C(6*i-6,i+1-j))%=Mo;        }    }    Dp[1]=9;    fo(i,2,N) {        int sum=(pwr(2,6*i-12)-Bad[i-2]+Mo)%Mo;        fo(k,0,4) {            if (k) (sum+=C(6*i-12,i-k))%=Mo;            (Dp[i]+=(ll)sum*C(4,k)*pwr(3,k)%Mo)%=Mo;        }    }    for(Len=1,lg=0;Len<=N;) {        Len<<=1;lg++;        fo(i,0,Len-1) {            int p=0;            for(int j=i,k=0;k<lg;k++,j>>=1) p=(p<<1)+(j&1);            Id[lg][i]=p;        }    }    W[0]=complex(1,0);    fo(i,1,Len) W[i]=complex(cos(2*i*pi/Len),sin(2*i*pi/Len));}int F[N<<1],G[N<<1],H[N<<1],Ans[N<<1];void pre(int n) {    for(len=1,lg=0;len<=n;len<<=1) lg++;}void DFT(complex *a,int flag) {    fo(i,0,len-1) t[Id[lg][i]]=a[i];    for(int m=2;m<=len;m<<=1) {        int half=m/2,times=Len/m;        fo(i,0,half-1) {            complex w=(flag==1)?W[i*times]:W[Len-i*times];            for(int j=i;j<len;j+=m) {                complex u=t[j],v=t[j+half]*w;                t[j]=u+v;t[j+half]=u-v;            }        }    }    fo(i,0,len-1) a[i]=t[i];    if (flag==-1) fo(i,0,len-1) a[i].r/=len;}void FFT() {    if (len<=32) {        fo(i,0,len-1)            fo(j,0,len-1)                (Ans[i+j]+=(ll)G[i]*H[j]%Mo)%=Mo;        return;    }    fo(i,0,len-1) T[i]=complex(G[i]+H[i],G[i]-H[i]);    DFT(T,1);    fo(i,0,len-1) T[i]=T[i]*T[i];    DFT(T,-1);    fo(i,0,len-1) Ans[i]=(ll)(T[i].r/4+0.5)%Mo;}void solve(int l,int r) {    if (l>=r) return;    int mid=l+r>>1;    solve(l,mid);solve(mid+1,r);    pre(r-l+1);    G[0]=1;fo(i,l,mid) G[i-l+1]=F[i];    H[0]=1;fo(i,mid+1,r) H[i-mid]=F[i];    FFT();    fo(i,l,r) F[i]=Ans[i-l+1];    fo(i,0,len) G[i]=H[i]=Ans[i]=0;}int ty;int main() {    prepare();    for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {        scanf("%d%d",&n,&k);        fo(i,1,n) F[i]=Dp[i];        solve(1,n);        int ans=0;        fo(i,k,n) (ans+=F[i])%=Mo;        printf("%d\n",(ans+Mo)%Mo);    }    return 0;}