随机取数

1. 给你一个长度为N的链表。N很大，但你不知道N有多大。你的任务是从这N个元素中随机取出k个元素。你只能遍历这个链表一次。你的算法必须保证取出的元素恰好有k个，且它们是完全随机的（出现概率均等）。

解答：

先选中前k个， 从第k+1个元素到最后一个元素为止， 以1/i  (i=k+1, k+2,...,N) 的概率选中第i个元素，并且随机替换掉一个原先选中的元素， 这样遍历一次得到k个元素， 可以保证完全随机选取。这个算法叫做蓄水池抽样，在某门课上听到的，证明起来也不是很复杂。

可以参考编程珠玑问题12.10：如何从n个排序的对象中选择一个，但实现不知道n的大小？

解答：总是选择第一个对象，并使用1/2的概率选择第二个对象，使用1/3的概率选择第三个对象，以此类推。在过程结束时，每个对像被选中的概率都是1/n。伪码如下：

i = 0;

while( more objects)

{

      with probability 1.0/i++

               choice = this object

      print choice

}

 

 

2. 给你一个数组A[1..n]，请你在O(n)的时间里构造一个新的数组B[1..n]，使得B[i]=A[1]*A[2]*...*A[n]/A[i]。你不能使用除法运算。

Solution:
1. 由于不知道N多大，因此不能使用[0, n]之间的等概率随机整数。遍历链表，给每个元素赋一个0到1之间的随机数作为权重（像Treap一样），最后取出权重最大的k个元素。你可以用一个堆来维护当前最大的k个数。
2. 从前往后扫一遍，然后从后往前再扫一遍。也就是说，线性时间构造两个新数组，P[i]=A[1]*A[2]*...*A[i]，Q[i]=A[n]*A[n-1]*...*A[i]。于是，B[i]=P[i-1]*Q[i+1]。