二分法的知识整理和代码的实现

 

数学方面：

　　一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

　　解方程即要求f(x)的所有零点。

　　先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],

　　现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b

　　①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，

　　如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用

　　中点函数值判断。

　　如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用

　　中点函数值判断。

　　这样就可以不断接近零点。

　　通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

　　给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

　　1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.

　　2 求区间(a,b)的中点c.

　　3 计算f(c).

　　(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;

　　(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

　　(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

　　4 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

　　由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。

　　例:(C语言)

　　方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3

　　使用示例：

　　input a b e: 1 2 1e-5

　　solution: 1.32472

　　源码如下：

#include <stdio.h> 　　#include <stdlib.h> 　　#include <math.h> 　　#include <assert.h> 　　double f(double x) 　　{ 　　return 1+x-x*x*x; 　　} 　　int main() 　　{ 　　double a = 0, b = 0, e = 1e-5; 　　printf("input a b e: "); 　　scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e); 　　e = fabs(e); 　　if (fabs(f(a)) <= e) 　　{ 　　printf("solution: %lg/n", a); 　　} 　　else if (fabs(f(b)) <= e) 　　{ 　　printf("solution: %lg/n", b); 　　} 　　else if (f(a)*f(b) > 0) 　　{ 　　printf("f(%lg)*f(%lg) > 0 ! need <= 0 !/n", a, b); 　　} 　　else 　　{ 　　while (fabs(b-a) > e) 　　{ 　　double c = (a+b)/2.0; 　　if (f(a)* f ( c ) < 0) 　　b = c; 　　else 　　a = c; 　　} 　　printf("solution: %lg/n", (a+b)/2.0); 　　} 　　return 0; 　　}

例：C++语言[类C编写].
　　|f(x)|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6　　#include"iostream"　　#include"stdio.h"　　#include"math.h"　　#define null 0　　double fx(double); //f(x)函数　　void main()　　{　　double xa(null),xb(null),xc(null);　　do　　{　　printf("请输入一个范围x0 x1：");　　std::cin>>xa>>xb; //输入xa xb的值　　printf("%f %f",xa,xb);　　}　　while(fx(xa)*fx(xb)>=0); //判断输入范围内是否包含函数值0　　do　　{　　if(fx((xc=(xa+xb)/2))*fx(xb)<0) //二分法判断函数值包含0的X取值区间　　{　　xa=xc;　　}　　else　　{　　xb=xc;　　}　　}　　while(fx(xc)>pow(10.0,-5)||fx(xc)<-1*pow(10.0,-5));//判断x根是否在接近函数值0的精确范围内　　printf("/n 得数为：%f",xc);　　}　　double fx(double x)　　{　　return(2.0*pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3*x-6.0);　　}