ZZ泊松分酒问题

怎么「分酒」

这个游戏的起源是一道趣味数学题，其中的内容如下：有位农夫到酒行，想买两袋5公升的酒。但是酒行里除了三个容积分别是10公升、7公升、3公升的量酒杯之外，没有任何测量工具。酒行老板如何运用这3个量杯，倒出两个5公升的酒呢？

为了方便说明，下面先定义几个名词：

甲：酒行里最大的量酒杯，在范例题的容量为10公升。

乙：酒行里第二大的量酒杯，在范例题的容量为7公升。

丙：酒行里最小的量酒杯，在范例题的容量为3公升。

丁：酒行老板想要倒出酒量，在范例题为5公升的酒。

为了深入了解这个游戏，我们将以下列方式来深究这个游戏：

(一)  这个游戏是不是有固定的解题策略？

(二)  如何判断指定的甲、乙、丙量杯组合，是否可将甲的酒量分半？

(三)  怎样的量杯组合，可以倒出任意的指定量来？

 

一、固定的解题策略：

一般人第一次接触本游戏，应该不会马上动手就倒，而会做下面的考虑：

(一)乙=丁或丙=丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙或丙量杯，即可完成。

(二)甲–乙=丁或甲–丙=丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙或丙量杯，即可完成。

(三)甲–乙–丙=丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙和丙量杯，即可完成。

(四)当丙=1时，不断的重复将甲量杯的酒倒入丙量杯，再将丙量杯的酒倒入乙量杯，终究可倒出丙来。

(五)甲+乙–丙=丁时：此时需将甲量杯的酒，倒入丙量杯，再将丙量杯的酒倒入乙量杯，最后把乙量杯的酒，倒入甲量杯，即可完成。

(六)甲–乙+丙=丁时：此时需将甲量杯的酒，倒入乙量杯，再将乙量杯的酒倒入丙量杯，最后把丙量杯的酒，倒入甲量杯，即可完成。

但是会被出来考人的题目，岂能那么简单就被解出来，以范例题来说，必须要倒来倒去达8个步骤，如果不实际动手倒倒看，或以笔记录推导倒酒的过程，很难推算出来。所以如果没有一个有规则的策略，很可能东倒西倒，多出许多不必要的动作，所以我们对于「任意的指定量，是否能找到一个固定的策略，只要循此规则操作，必可得到所要的结果」有了兴趣。

以下先从范例题，来推导可能的解题策略：

(一)解法1：

甲

(10)

乙

(7)

丙

(3)

操作说明

(0)

10

0

0

各量杯起始的量

(1)

3

7

0

先用甲量杯的酒，把乙量杯倒满，

甲量杯余3公升，乙量杯被倒满为7公升。

(2)

3

4

3

用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，
乙量杯余4公升，丙量杯被倒满为3公升。

(3)

6

4

0

把丙量杯中的酒，倒回甲量杯，
甲量杯增为6公升，丙量杯为0公升。

(4)

6

1

3

用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，
乙量杯余1公升，丙量杯被倒满为3公升。

(5)

9

1

0

把丙量杯中的酒，倒回甲量杯，
甲量杯增为9公升，丙量杯为0公升。

(6)

9

0

1

把乙量杯中余下的1公升酒，倒入丙量杯，
乙量杯剩0公升，丙量杯为1公升。

(7)

2

7

1

用甲量杯中的酒，把乙量杯倒满，
甲量杯余2公升，乙量杯被倒满为7公升。

(8)

2

5

3

用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，因为丙量杯已有1公升酒，所以乙量杯只用去2公升，剩下5公升，操作至此，已完成题目的要求，量出5公升的酒了。

 

(二)解法2：

甲

(10)

乙

(7)

丙

(3)

操作说明

(0)

10

0

0

各量杯起始的量

(1)

7

0

3

先用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余7公升，丙量杯被倒满为3公升。

(2)

7

3

0

把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为3公升，丙量杯为0公升。

(3)

4

3

3

用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余4公升，丙量杯被倒满为3公升。

(4)

4

6

0

把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为6公升，丙量杯为0公升。

(5)

1

6

3

用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余1公升，丙量杯被倒满为3公升。

(6)

1

7

2

把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
因为乙量杯已有6公升，所以只用掉1公升，此时乙量杯被倒满为7公升，丙量杯余2公升。

(7)

8

0

2

把乙量杯的酒，倒至甲量杯，
甲量杯增为8公升，乙量杯为0公升。

(8)

8

2

0

把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为2公升，丙量杯为0公升。

(9)

5

2

3

用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，操作至此，
甲量杯恰余5公升，完成题目的要求，量出5公升的酒了。

 

(三)经研究分析之后，我们发现有两种策略可完成倒酒任务：

方法1：以乙量杯为主：

操作(1)：将甲量杯的酒倒入乙量杯。

操作(2)：将乙量杯的酒倒入丙量杯。

操作(3)：如果乙量杯中已没酒了，直接回到操作(1)。

如果乙量杯中还有酒，且丙量杯也已倒满酒，那就先将丙量杯的酒倒回甲量杯，然后回到操作(2)继续操作。

方法2：以丙量杯为主(过程同方法1，但乙、丙互易)：

操作(1)：将甲量杯的酒倒入丙量杯。

操作(2)：将丙量杯的酒倒入乙量杯。

操作(3)：如果丙量杯中已没酒了，直接回到操作(1)。

如果丙量杯中还有酒，且乙量杯也已倒满酒，那就先将乙量杯的酒倒回甲量杯，然后回到操作(2)继续操作。

二、以不定方程式来探讨是否可将酒分成两半

在范例题中，我们发现老板要分的酒，是将甲分为两半，亦即丁为甲的一半。类似的问题，我们可以使用「不定方程式」，来了解要求这样把酒分半的问题是「有解」，抑或「无解」！

(范例题)

以范例题为例，我们可假设老板将酒倒进7公升的量杯x次；酒由7公升量杯倒进3公升的量杯y次，因为最后7公升量杯内装5公升酒，所以7x-3y=5。

，

设，且t是正整数。

x=3t-1，

y=2(3t-1)-2+t=7t-4。

所以。

若取t=1，

则x=2、y=3；也就是说在倒酒的过程中，老板将酒倒进7公升的量杯2次，由7公升量杯倒进3公升的量杯3次，就可以完成老板和农夫的需求，倒出5公升的酒。
如果以(甲,乙,丙)表示容积10公升、7公升、3公升量杯内酒的容量，则过程是(10,0,0)→(3,7,0)→(3,4,3)→(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(2,7,1)→(2,5,3)→(5,5,0)

 

(范例二)

如果量杯的容积分别是10公升、7公升、4公升，假设老板将酒倒进7公升的量杯x次；酒由7公升量杯倒进4公升的量杯y次，得7x-4y=5。

取，且t是正整数。

则、

若取t=2

则x=3、y=4；也就是说在倒酒的过程中，老板将酒倒进7公升的量杯3次；酒由7公升量杯倒进4公升的量杯4次，即可完成老板和农夫的需求，倒出5公升的酒。

(10,0,0)→(3,7,0)→(3,3,4)→(7,3,0)→(7,0,3)→(0,7,3)→(0,6,4)→(4,6,0)→(4,2,4)→(8,2,0)→(8,0,2)→(1,7,2)→(1,5,4)→(5,5,0)

 

(范例三)

如果量杯的容积分别是10公升、6公升、4公升，假设老板将酒倒进6公升的量杯x次；酒由6公升量杯倒进4公升的量杯y次，得6x-4y=5。

取，且t是正整数。

则、

由上述方程式得知，因为t为正整数，所以得出x,y不是正整数，这和假设不符，表示本题无解。

另：6x及4y都是偶数，其差也必为偶数，所以不可能得到指定的酒量5公升。

 

(范例四)

如果量杯的容积分别是10公升、8公升、2公升，假设老板将酒倒进8公升的量杯x次；酒由8公升量杯倒进2公升的量杯y次，得8x-2y=5。

取t=4x，且t是正整数。

则、

由上述方程式得知，t若为正整数，则x,y没有正整数解。

另：8x及2y都是偶数，其差也必为偶数，所以不可能得到指定的酒量5公升。

结语：当我们以不定方程式求解甲量杯的酒量是否可分半时：

1.  若(乙,丙)=m(表示乙和丙的最大公因子为m)，且m是丁的因子，则表示不定方程式有整数解，也就是分酒问题是有解的。

例如范例一(7,3)=1，1是5的因子，因此分酒问题是有解的；

范例二(7,4)=1，1是5的因子，因此分酒问题是有解的；

2.  若(乙,丙)=m，且m不是丁的因子，则表示不定方程式没有整数解，也就是分酒问题是无解的。

例如范例三(6,4)=2，2不是5的因子，因此分酒问题是无解的；

范例四(8,2)=2，2不是5的因子，因此分酒问题是无解的；

注：以上的推导过程已假设甲是偶数(因为要分半)及乙>丁，且只考虑倒出的指定量是产生在乙量杯中。如果甲不为偶数，倒出的指定量也不是甲的一半时，丁酒量可能会产生在甲量杯中，此时请自行类推。

三、怎样的量杯组合，可以倒出任意的指定量来？

由上面的推导，我们已知道有些量杯的组合不能将甲酒量分半，有些则可以。那么更进一步：「怎样的量杯组合，才可以分出任意指定量的酒」？ (假设要求倒出的酒量必须产生在三个量杯之一，不得两杯合起来算)经我们的归纳，有以下的结论：

(一)  当(乙,丙)＝1且乙+丙-2≦甲≦2×乙+丙+1时，

可使用这三种量酒杯，调出1～甲的所有量。

例如：在{10,5,3}的组合中,

(乙,丙)=(5,3)=1，6≦乙+丙-2≦甲=10≦2×乙+丙+1=14

(10,0,0)→(5,5,0)→(5,2,3)→(8,2,0)→(8,0,2)→(3,5,2)→(3,4,3)→(6,4,0)→ (6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(4,5,1)→(4,3,3)→(7,3,0)→(7,0,3)→(2,5,3)→(5,5,0)

可调出1～10的所有容量来。

例如：在{8,5,2}的组合中,

(乙,丙)=(5,2)=1，5≦乙+丙-2≦甲=8≦2×乙+丙+1=13

 (8,0,0)→(3,5,0)→(3,3,2)→(5,3,0)→(5,1,2)→(7,1,0)→(7,0,1)→(2,5,1)→ (2,4,2)→(4,4,0)→(4,2,2)→(6,2,0)→(3,5,0)→(3,3,2)→(5,3,0)→(5,1,2)

可调出1～8的所有容量来。

例如：在{10,7,3}的组合中,

(乙,丙)=(7,3)=1，8≦乙+丙-2≦甲=10≦2×乙+丙+1=18

 (10,0,0)→(3,7,0)→(3,4,3)→(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(2,7,1)→ (2,5,3)→(5,5,0)→(5,2,3)→(8,2,0)

可调出1～10的所有容量来。

例如：在{8,3,2}的组合中,

(乙,丙)=(3,2)=1，3≦乙+丙-2≦甲=8≦2×乙+丙+1=9

 (8,0,0)→(3,5,0)→(3,2,3)→(6,2,0)→(6,0,2)→(1,5,2)→(1,4,3)→(4,4,0)→ (4,1,3)→(7,1,0)

可调出1～8的所有容量来。

例如：在{10,3,2}的组合中,

(乙,丙)=(3,2)=1，因为甲=10>2×乙+丙+1=9

 (10,0,0)→(7,3,0)→(7,1,2)→(9,1,0)→(9,0,1)→(6,3,1)→(6,2,2)→(8,2,0)→ (8,0,2)→(5,3,2)

可调出1,2,3,5,6,7,8,9,10公升的容量，但倒不出4来。

例如：在{8,6,5}的组合中,

(乙,丙)=(6,5)=1，因为甲=8<乙+丙-2=9

 (8,0,0)→(2,6,0)→(2,1,5)→(7,1,0)→(7,0,1)→(1,6,1)→(1,2,5)→(6,2,0)→ (6,0,2)→(0,6,2)→(0,3,5)→(5,3,0)→(5,0,3)→(0,5,3)→(0,3,5)

可调出1,2,3,5,6,7,8公升的容量，但倒不出4来。

(二)        当 (乙,丙)=2且甲=乙+丙-1或乙+丙-3时

可使用这三种量酒杯，调出1～甲的所有量。

例如：在{13,8,6}的组合中，

(乙,丙)=(8,6)=2，甲=13=乙+丙-1

(13,0,0)→(5,8,0)→(5,2,6)→(11,2,0)→(11,0,2)→(3,8,2)→(3,4,6)→(9,4,0)→(9,0,4)→(1,8,4)→(1,6,6)→(7,6,0)→(7,0,6)→(0,7,6)→(6,7,0)→(6,1,6)→(12,1,0)→(12,0,1)→(4,8,1)→(4,3,6)→(10,3,0)→(10,0,3)→(2,8,3)→(2,5,6)→(8,5,0)→(8,0,5)→(0,8,5)→(0,7,6)

可调出1～13的所有容量来。

例如：在{11,8,6}的组合中，

(乙,丙)=(8,6)=2，甲=11=乙+丙-3

(11,0,0)→(3,8,0)→(3,2,6)→(9,2,0)→(9,0,2)→(1,8,2)→(1,4,6)→(7,4,0)→ (7,0,4)→(0,7,4)→(0,5,6)→(6,5,0)→(6,0,5)→(0,6,5)→(0,5,6)

(0,7,4)→(4,7,0)→(4,1,6)→(10,1,0)

可调出1～11的所有容量来。

例如：在{12,8,6}的组合中，

(乙,丙)=(8,6)=2，甲=12≠乙+丙－1=13或乙+丙－3=11

(12,0,0)→(4,8,0)→(4,2,6)→(10,2,0)→(10,0,2)→(2,8,2)→(2,4,6)→(8,4,0)→ (8,0,4)→(0,8,4)→(0,6,6)→(6,6,0)→(6,0,6)→(0,6,6)

可调出偶数的量而调不出奇数的量。

例如：在{9,4,2}的组合中，

(乙,丙)=(4,2)=2，甲=9≠乙+丙－1=5或乙+丙－3=3

(9,0,0)→(5,4,0)→(5,2,2)→(7,2,0)→(7,0,2)→(3,4,2)→(5,4,0)

调不出1,6,8的量来。

四、结语：

(一)、这个游戏的一般出题将甲酒量分半，可以套用固定的解题策略。

(二)、判断指定的甲、乙、丙量杯组合，是否可将甲的酒量分半出丁的方法是：判断乙丙的最大公因素是否为丁的因素，若为因素则可，反之为否。

(三)、下面的量杯组合，可以倒出任意的指定量来，否则不行：

1、当(乙,丙)＝1且乙+丙-2≦甲≦2×乙+丙+1。

2、当 (乙,丙)=2且甲=乙+丙-1或乙+丙-3。