求1的个数问题

     《编程之美》中有一个求1出现次数的问题，给定一个十进制正整数N，写下从1到N的所有正整数，然后数一下其中1出现的次数；如果将这个问题稍微改变一下，要求数一下其中含有1的数字的个数；比如N=12，f(N)=4,(1, 10, 11, 12)

看起来问题基本一样，但实际上两者还是有很大的不同的，改变后的问题应该说是一个排列组合问题；

 

 

这里给出一种解法：

首先现将问题转化为：求不含1的数的个数

设N=high ow

从最高位high开始，设当前共有bit+1位

1. 求出0~high999..之间不含1的数的个数，由组合问题可知，一共有：high*9^bit..,个

2. 由1求出的数，由于多计算了N+1~high999这些数字，需要将这些数字减去

   2.1 如果high=1，那么这些数字都含1，直接忽略;

   2.2 否则：

        考虑到这些数字的最高为都是high，且不为1，可以略去，因此就变为了计算F(999..)-F(low);

        F(999..)容易计算，值为9^bit；

算法复杂度是O(bit)，可视为常数；

现在求出了0～N之间不含1的数字个数；0～N一共有N+1个数字

那么f(N) = N+1 - F(N)

 

根据思路写出程序如下：

int __CountNon1ToN(int N){ if(N <= 0) return 1; if(N < 10) return N; int high = 0, low = 0, ibit = 0; int tmp = N, factor = 1, count = 1, tmp2 = 1; // count bit while(tmp > 9) { tmp /= 10; ibit++; factor *= 10; count *= 9; tmp2 *= 9; } high = N/factor; low = N%factor; count = high*count; if(high == 1) return count; return count - tmp2 + __CountNon1ToN(low);}