排列与组合---回溯

 

求1.。。n的全排序或者m组合实际上是一个回溯问题，对于回溯问题，如何写出递归程序，关键在于想好问题隐式解空间树，之后，可以按照标准的DFS去遍历解空间树，并在适当的时候剪枝，对于全排列，不需要也不能进行减枝，每个叶子节点都对应一个全排列。对于组合问题，实际上只要限定，产生m个数的下标是从小到大排列的就可以了。

 

全排列代码：

void generatePerm(int* a, int n, int *out, int m){ if(n == m ) { for(int i = 0; i < n; ++i) cout << out[i] << " "; cout << endl; return; } for(int i = 0; i < n; ++i) { if(!visited[i]) { out[m] = a[i]; visited[i] = true; generatePerm(a,n,out,m+1); visited[i] = false; } }}  

 

n个数求m组合，只需要记录上次产生的数的下标，下次从该数下一个数开始选数，同时注意减枝即可：

void generateComb(int *a, int n, int m, int *out, int s, int l){if(l == m){for(int i = 0; i < m; ++i)cout << out[i] << " ";cout << endl;return;}if( n - s < m - l )return;for(int i = s; i < n; ++i){out[l] = a[i];generateComb(a,n,m,out,i+1,l+1);}} 

 

补充，针对全排列，STL里面的generate_next_permutation的算法也需要知道，不需要递归，由上一个排列直接生成下一个排列（字典序），实际上就是构造上一个排列之后的最小排列。想像成一个凸的折线，变成一个凹的折线，下一个排列最左边的点的位置要稍微高点即可。

 

这几个例子实际上非常简单，但需要熟练掌握，对于回溯问题，分析解空间树，考虑需要保存哪些变量以支持回溯，剪枝优化等是比较关键的。另外，比较经典的回溯问题包括 车厢调度，括号匹配，迷宫等等，都应该掌握。

 

车厢调度（括号匹配代码）：

#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 1000;char a[2*maxn + 1];int n;int stack[maxn];int input[maxn];int output[maxn];int stack_top = -1;int input_top = -1;int output_top = -1;int sum = 0;int b[maxn];void showKuoHao(){ if(output_top == n-1) { for(int i=n-1 ; i>= 0; i--) cout<< output[i]; cout << endl; int tmp_top = output_top; int num = 0; for(int i = 1; i <= n ; i++) { cout<<"("; if(output[tmp_top] == i) { tmp_top--; cout << ")"; num++; } } for(int i = 1; i<= n-num; i++) cout<<")"; cout<<endl; sum++; return ; } if(input_top >= 0) { stack[++stack_top] = input[input_top--]; showKuoHao(); input[++input_top] = stack[stack_top--]; } if(stack_top >=0) { output[++output_top] = stack[stack_top--]; showKuoHao(); stack[++stack_top] = output[output_top--]; } }int main(){ cin >> n; for(int i = n; i>=1 ; i--) { input[++input_top] = i; } showKuoHao(); cout << "sum = " << sum << endl; cin >>n; return 0;}