手算Dynamic Programming

手算Dynamic Programming(1)

用动态规划方法手工求解下面的问题：

某工厂调查了解市场情况，估计在今后四个月内，市场对其产品的需求量如下表所示。

时期（月）

需要量（产品单位）

1

2

2

3

3

2

4

4

已知：对每个月来讲，生产一批产品的固定成本费为3 (千元)，若不生产，则为零。每生产单位产品的成本费为1 （千元)。同时，在任何一个月内，生产能力所允许的最大生产批量为不超过6 个单位。

又知每单位产品的库存费用为每月0.5 （千元），同时要求在第一个月开始之初，及在第四个月末，均无产品库存。

问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？

要求：写出各种变量、状态转移方程、递推关系式、和详细计算步骤。

【解答】

l  变量定义

Ø  阶段：k = 1，2，3，4 ；

Ø  每个阶段开始时库存量：s_k ；

Ø  每个阶段产量：u_k ；

Ø  每个阶段需求量：d_k 。

l  状态转移方程

l  递推关系式

l  详细计算步骤

k = 4

根据状态转移方程和边界条件：

因为s₅ = 0 = s₄ + u₄ – d₄ = s₄ + u₄ – 4

所以 s₄ = 4 – u₄ , s₄ ≥ 0

根据 ,

得出决策表格：

s₄

u₄

f₄(s₄)

4

0

2

3

1

5.5

2

2

6

1

3

6.5

0

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

第四月初的库存状态：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1月11日 1:47 | 添加评论 | 阅读评论 (2) | 固定链接 | 写入日志 | 算法

手算Dynamic Programming(2)

k = 3

根据状态转移方程：s₄ = s₃ + u₃ – 2

递推关系式：

u₃

s₃

0

1

2

3

4

5

6

f₃(s₃)

0

 

 

s₄ = 0

12

s₄ = 1

12.5

s₄ = 2

13

s₄ = 3

13.5

s₄ = 4

11

11

1

 

s₄ = 0

11.5

s₄ = 1

12

s₄ = 2

12.5

s₄ = 3

13

s₄ = 4

10.5

 

10.5

2

s₄ = 0

8

s₄ = 1

11.5

s₄ = 2

12

s₄ = 3

12.5

s₄ = 4

10

 

 

8

3

s₄ = 1

8

s₄ = 2

11.5

s₄ = 3

12

s₄ = 4

9.5

 

 

 

8

4

s₄ = 2

8

s₄ = 3

11.5

s₄ = 4

9

 

 

 

 

8

5

s₄ = 3

8

s₄ = 4

8.5

 

 

 

 

 

8

6

s₄ = 4

5

 

 

 

 

 

 

5

1月11日 1:46 | 添加评论 | 固定链接 | 写入日志 | 算法

手算Dynamic Programming(3)

 

根据状态转移方程：s₃ = s₂ + u₂ – 3

递推关系式：

u₂

s₂

0

1

2

3

4

5

6

f₂(s₂)

0

 

 

 

s₃ = 0

17

s₃ = 1

17.5

s₃ = 2

16

s₃ = 3

17

16

1

 

 

s₃ = 0

16.5

s₃ = 1

17

s₃ = 2

15.5

s₃ = 3

16.5

s₃ = 4

17.5

15.5

2

 

s₃ = 0

16

s₃ = 1

16.5

s₃ = 2

15

s₃ = 3

16

s₃ = 4

17

s₃ = 5

18

15

3

s₃ = 0

12.5

s₃ = 1

16

s₃ = 2

14.5

s₃ = 3

15.5

s₃ = 4

16.5

s₃ = 5

17.5

s₃ =6

15.5

12.5

4

s₃ = 1

12.5

s₃ = 2

14

s₃ = 3

15

s₃ = 4

16

s₃ = 5

17

s₃ = 6

15

 

12.5

5

s₃ = 2

10.5

s₃ = 3

14.5

s₃ = 4

15.5

s₃ =5

16.5

s₃ = 6

14.5

 

 

10.5

6

s₃ = 3

11

s₃ = 4

15

s₃ = 5

16

s₃ = 6

14

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

手算Dynamic Programming(4)

k = 1

根据状态转移方程：s₂ = s₁ + u₁ – 2

递推关系式：

u₁

s₁

0

1

2

3

4

5

6

f₂(s₂)

0

 

 

s₂ = 0

21

s₂ = 1

21.5

s₂ = 2

22

s₂ = 3

20.5

s₂ = 4

21.5

20.5

回溯！！

生产过程安排如下：

月份k

s_k

u_k

月总成本

成本累计

1

0

5

8

8

2

3

0

1.5

9.5

3

0

6

9

18.5

4

4

0

2

20.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = 2