【aha, Insight】原来二进制数是这样

一直不明白为什么二进制这么流行，试想大概就是因为0和1正好表示计算机的开、关或是高、低电平之类的东西；上面的原因却是没错，不过在《aha,Insight》里得到了另一个更兴奋的答案，原来是这样，茅塞顿开。

 

一个简单的问题：

问题描述大概是这样，Mr. Black 和Mrs. White的药店新到了一批药，一共有10瓶，每瓶里面装了上千颗药丸，每颗药丸重100毫克；新药上架后，突然接到通知说其中有一瓶药有问题，这瓶有问题的药里面每颗药丸都比正常的中了10毫克，先有一个称（不是天平），请问要怎么分辨是哪一瓶药出了问题？

 

最笨，也是最容易想到的方法就是从每瓶药里面拿一颗药出来称，最差的情况就是称10次，找到有问题的一瓶，可是有没有更好的方法呢？

答案是肯定的，而且只需要称一次就搞定，方法如下：

从第一瓶药里面拿1颗，从第二瓶药里拿2颗，从第三瓶药里拿3颗，这样继续下去……最后把所有拿出来的药混在一起称，得到重量后就能知道是那瓶药有问题了；原因，假设10瓶药都没有问题，那么我们拿出了55颗药，重量应该是5500；如果我们得到的重量是5510，证明第一瓶药有问题，如果得到的重量是5520，则第二瓶药有问题……，拿出的药数量相当于给药瓶编号，每瓶药有一个唯一的编号，这样的策略我们可以称一次就知道有问题的药瓶是哪个了。

 

哈哈，真是灵机一动，可是跟标题的二进制数有啥关系？别急，看下面一个难一点的问题：

问题大概跟上面的差不多，只是这次更糟，不是一瓶药有问题，而是不知道10瓶中有多少瓶有问题。哎哟，这可麻烦了，不能再用上面的策略；但是称10次绝对没问题，是不是这次真的要称这么多次了呢？

 

答案还是只需要称一次，改变点策略就行：

上题的关键在于，我们知道只有一瓶有问题，那么只需要按瓶为区分单位，给每瓶标上唯一的标识，那么就可以用和来区分具体是那瓶有问题，达到一次就搞定的目的；这次的策略是一样的，需要通过拿出不同数量的药丸给瓶子编号，但是因为不知道到底有多少瓶药有问题，所以编号就不能像之前那样了，那么要怎么做呢？这就需要二进制数的知识了，我们知道任何非零正整数都能用这样一串数的和唯一表示出来，1，2，4，8，16...，用二进制标识，他们刚好是2^0，2^1，2^2，2^3，2^4...（为什么能，稍微想下吧，因为任何非零正整数都能表示成二进制数）；所以我们可以这样拿药丸，从第一瓶里拿1颗，从第二瓶里拿2颗，从第三瓶里拿4颗，从第四瓶里拿8颗，如此下去，再把所有拿出的药混合称一次就知道哪些药瓶有问题了；这是个等比数列，我们很容易知道在10瓶都没有问题时，拿出的药的重量应该是2^9-1，那么用我们得到的真实重量减去这个标准重量，得到的就是多出来的重量，再转换成二进制数后，位上为1的位对应的药瓶就是有问题的（位上为1，证明对这位做了贡献，每瓶药唯一对应能做贡献的位，比如第一瓶只能对第0位做贡献，第二瓶只能对第1位做贡献等等）；举个例子，假设我们得到的差是27，转换成二进制就是11011，那么，就知道是第1、2、4、5瓶有问题了。

 

这下明白了吧，怪不得二进制这么流行，因为它实在太强大了。

 

我一直坚信计算机是离不开数学的，要学好计算机必须要先学好数学，再在实践中增加工程类的知识和方法，所以不管周围人怎么觉得我怪异，我都会坚持学习数学，再说了，本来就是我的爱好，为啥要放弃？明显不是我风格，哈哈；另外知识从来不是学出来的，必须通过自己的亲身实践，去做去推敲，在失败中获得真知，编程强调的多写，数学亦如此，要多做多总结，有时，在不理解数学问题时，放到现实的具体问题中去，往往能得到意外的收获，毕竟数学最初就是人们从解决现实问题中总结出来的理论和方法。

 

哎哟，又碎碎念了一大堆，不过大概找到点回学校要怎么忽悠别人的方向。

 

能够融入数学乐趣中果然比较high，算是无聊工作中的重要调味剂吧，噢，还有我的文艺小生活，明天又有话剧看咯，期待期待。