求正整数中第K个二制中不含11的数
来源:互联网 发布:刚进入金融行业 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 09:25
描述很简单:把所有的正整数从小到大都转化成二进制串,求第K(K<900000000)个不含11子串的二制串。如:1,2,3,4,5的二进制串为1,10,11,100,101,故前四个满足条件的串分别为1,10,100,101。
首先最想知道的就是第K个满足上述条件的串有多少位?1位的串有1个,2位的串有1个,3位的中有2个……其实我们发现可以构造出来。对于长度为N的串,对于这些串如果尾数为0,那么在后面增加0,1都可以;如果尾数为1,那么就只能增加0。这样就包含了所有的满足条件的长度为N+1的串。下面给出简单的证明:
由于N+1长的串是满足条件的,必然所有的N+1长的串的前N个字符组成的子串必然要满足条件,故前N个字符的子串的形式必定有所有长为N的串。得到了所有长为N+1串的前N个字符的串,只能在后面增加0或1,对于串尾为0,增加0,1后满足条件,对于串尾为1,必然只能增加0。故得证。如下图所示:
这样通过动态规划就可以求得长度为N的串一共有多少个,于是也就求得第K个满足条件的串的长度为多少。
然而这样还不够,我们只是知道了这样的串长为多少,我们并不知道这样的串是什么。那么怎么样得生成我们需要的串呢?如需求第7个满足条件的串的是多少。首先可以得到长度为4(从上图可看出来)。比4小的串有多少个呢?1,10,100,101,又可以得到第7个满足条件的串必然在长度为4的串中排第三(1000,1001,1010)。那么长度为4排第三的串又是多少呢?0,1,10……这样往下我们发现,问题转化为更小的,第2个满足条件的串是多少……以些类推,最终就可以求得解。
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