最大子段和详解

 

问题的提出：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为

Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n

 例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20

方法一：

蛮力法

方法二：

分治法

算法描述如下：

 

针对最大子段和这个具体问题本身的结构，我们还可以从算法设计的策略上对上述O(n^2)计算时间算法进行更进一步的改进。从问题的解结构也可以看出，它适合于用分治法求解。

如果将所给的序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种情况：

（1） a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同

（2） a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同

（3） a[1:n]的最大子段和为a[i]+…+a[j]，并且1<=i<=n/2，n/2+1<=j<=n。

对于（1）和（2）两种情况可递归求得，但是对于情况（3），容易看出a[n/2]，a[n/2+1]在最大子段中。因此，我们可以在a[1:n/2]中计算出s1=max(a[n/2]+a[n/2-1]+…+a[i]),0<=i<=n/2，并在a[n/2+1:n]中计算出s2= max(a[n/2+1]+a[n/2+2]+…+a[i])，n/2+1<=i<=n。则s1+s2为出现情况（3）的最大子段和。据此可以设计出最大子段和问题的分治算法如下：

代码如下：

#include<stdio.h>#define MAX 100int maxsub(int left,int right);int a[MAX];int main(){int i;int count;scanf("%d",&count);for(i=0;i<count;i++){scanf("%d",&a[i]);}printf("%d/n",maxsub(0,count-1));return 0;}int maxsub(int left,int right){int center,i;int sum,left_sum,right_sum;int left_max,right_max;center=(left+right)/2;if(left==right)return a[left];else{left_sum=maxsub(left,center);right_sum=maxsub(center+1,right);sum=0;left_max=0;for(i=center;i>=left;i--){sum+=a[i];if(sum>left_max)left_max=sum;}sum=0;right_max=0;for(i=center+1;i<=right;i++){sum+=a[i];if(sum>right_max)right_max=sum;}sum=right_max+left_max;if(sum<left_sum)sum=left_sum;if(sum<right_sum)sum=right_sum;}return sum;} 

 

方法三：

动态规划法

算法描述如下：

 

在对于上述分治算法的分析中我们注意到，若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j]),其中1<=i<=j,并且1<=j<=n。则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。

由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

代码如下：

#include<stdio.h>int main(){int count;int a[100];int b[100];int i;int max;scanf("%d",&count);for(i=0;i<count;i++){scanf("%d",&a[i]);}b[0]=a[0];max=b[0];for(i=1;i<count;i++){if(b[i-1]>0)b[i]=b[i-1]+a[i];elseb[i]=a[i];if(b[i]>max)max=b[i];}printf("%d/n",max);return 0;}