在两个有序的数组中找第N个数,O(lgm+lgn)级
来源:互联网 发布:用友web端口是什么 编辑:程序博客网 时间:2024/05/03 07:44
问题描述:
Give a divide and conquer algorithm for the following problem:
you are given two sorted lists of size m and n, and are allowed
unit time access to the ith element of each list. Give an O(lg m + lgn)
time algorithm for computing the kth largest element in the union of the two lists. (For simplicity, you can assume that the elements of the
two lists are distinct).
问题分析:
1. 把 A 平均分为前后两个部分,前部分有 x 个元素,后部分有 n-x 个元素
(由于 A 是有序的,所以后一部分的所有元素大于前一部分)。A[x] = A的
后一部分的第一个元素。
2. 同理把 B 也平均分成前后两个部分,前部分有 y 个元素,后部分有 m-y 个元素。
B[y] = B的后一部分的第一个元素。
3. 由于两个数组都是被平均分割的,所以可以近似地认为 x = n/2, y = m/2。
这里不妨设 A[x] <= B[y](如果 A[x] > B[y] 处理过程和下面类似):
part1:
由于在 A 中,A[x] 前面有 x 个元素,在 B 中,B[y] 前面有 y 个元素,
并且又有 A[x] <= B[y],那么,合并以后,A[x]前面原来那些元素必然
也在B[y]前面,也就是说,B[y]前面至少会有 x + y 个元素,我们再规定
如果 A, B 中有相同元素,则合并后 A 中的元素排在 B 前面,那么归并
以后 A[x] 也会排在 B[y] 前面,于是乎合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 个元素。
如果 k <= x+y+1,也就是说,合并后第 k 大的元素必然落在 B[y] 前面。
所以,原来在 B 数组中,第二部分(B[y]以及 B[y] 之后)那些元素都不可能
包含我们要找到内容(第 k 大元素),所以我们可以把他们排除掉。
这样就排除了 B 中一半的内容。
part2:
在 A 中,A[x] 及其后面有 n1-x 个元素,除去 A[x] 之后有 n-x-1 个元素,
B[y] 及其后面有 m-y 个元素。那么,由于 A[x] <= B[y],所以合并起来之后,
B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面,则合并后 A[x] 后面至少有
(n-x-1) + (m-y) = (n+m)-(x+y+1) 个元素。
如果 k > x+y+1,也就说,合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。
所以,原来在 A 数组中,第一部分(A[x]之前)以及 A[x] 都不可能包含我们
要找的元素,所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 A 中一半的内容。
all:
综上所诉,对于 k <= x+y+1 还是 k > x+y+1 我们都提出了解决的方案,并且每种方案
都能把 A 或者 B 的规模减小一半。减小了一半之后,我们将其作为一个新的问题
继续使用上面的算法处理,直到 A 或者 B 减小到足够小:
1. A没有了,这样只需要找出 B 中第 k 大的元素,也就是 B[k].
2. B没有了,同上结果就是 A[k].
代码如下:
- 在两个有序的数组中找第N个数,O(lgm+lgn)级
- 在两个有序的数组中找第N个数,二分查找 O(lgm+lgn)级
- 两有序序列中找第k大数O(lgm+lgn)
- 两个有序的数组中找第N个数
- 两个有序数组中找第N个数
- 两个有序数组找第n个数
- O(lgn)时间内找出有序数组中某个元素出现的次数
- O(lgn)时间内找出有序数组中某个元素出现的次数
- 在两个有序数组中找第N数(算法)
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