关于0.9999....=1的证明
来源:互联网 发布:如何解封淘宝账号 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 15:26
某日凌晨4点多,网友Superwyh发来短信说,他梦到了这样一个颇具启发性的问题:如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数,这是否足以说明这两个数是相等的?正好当时我还没睡,稍微想了一下,发现这个命题是成立的,因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等,那它们之间一定能够插入其它的数(例如这两个数的算术平均值);反过来,如果两个数之间无法插入别的数,这两个数自然就应该相等了。
这个命题是相当具有启发性的。或许有人会想,能不能用这一思路去证明两个数相等呢?
关于两数是否相等的争论,最著名的就是那个关于0.9999....和1是否相等的问题了。这一问题理解起来简单,细想起来争议颇大,真可谓是一个全民化的数学争论,与著名的Monty Hall问题有得一拼。不了解极限概念的人可能会说,不管你在后面写多少个9,它都不能达到1的,量变和质变存在本质上的区别。因此,当高中数学课上老师明确指出0.9999....精确地等于1时,还是有不少人瞠目结舌,甚至高声反对。
如何让不懂极限的人相信这一等式呢?这是一个有趣的话题。我们可以用类比法来说服这些“保守派”的人。注意到1/9等于0.1111....,2/9=0.2222....,一直到8/9=0.8888....,我们很容易联想到9/9应该等于0.9999....。但是,9/9等于1,这就说明了两个数是相等的。
下面这个说法更具有说服力一些。令x=0.9999....,于是10x就等于9.9999....,两者相减可得9x=9,我们立即看出x实际上就等于1。
有没有什么更加严格一些的证明呢?Superwyh在短信中提到,直觉上看,0.9999....和1之间似乎无法插入其它数字,这很能令人信服两个数是相等的。事实上,我们可以严格地说明不存在x使得0.9999.... < x < 1。倘若有某个x小于1,这说明1-x是一个正数,虽然它可能很小很小。比方说1-x=0.0000000001,那么就有0.9999.... > 0.99999999999 > x;不管1-x有多小,只需要比到x的第一个非0位,0.9999....就已经超过了x。这样看来,任何一个比1小的数,也一定小于0.9999....,因此1和0.9999....之间不存在第三个数。根据前面的结论,我们立即得到,1和0.9999....其实是同一个数。
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