同余公式和性质

来源：互联网发布：js 日期排序编辑：程序博客网时间：2024/04/29 12:37

基本性质：

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
       (a + b) % p = (a % p + b % p) % p            （1）
       (a - b) % p = (a % p - b % p) % p             （2）
       (a * b) % p = (a % p * b % p) % p            （3）
       a^b % p = ((a % p)^b) % p                        （4）

结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有a^c≡ b^c(%p)；（13）

第二组性质：

1.如果 $a /equiv b /pmod{m}$ ，那么 $m | (a - b)$ ，这里 $m | (a - b)$ 表示 $(a - b)$ 能被 $m$ 整除

2.如果 $a /equiv b /pmod{m}$ ， $b /equiv c /pmod{m}$ , 那么 $a /equiv c /pmod{m}$

3.如果 $a /equiv b /pmod{m}$ ， $c /equiv d/pmod{m}$ , 那么 $a+c /equiv b+d /pmod{m}$ ， $a-c /equiv b-d /pmod{m}$ ， $ac /equiv bd /pmod{m}$ ， $a/c /equiv b /d /pmod{m}$

4如果 $a /equiv b /pmod{m}$ ，那么 $a^n /equiv b^n /pmod{m}$

5. 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m）