数据的统计量特征---懒得整理

 集中量数：

平均数值，几何平均数值，众数，中位数（损失信息）；

差异量数：

方差，变异系数。

常用的描述一组评价数据特征的统计量
　　（一）集中量数
　　描述一组数据的规律性的量数称为集中量数。它是一组数据的一般水平的代表值。
　　教育评价中常用的描述一组评价对象一般水平的量数有算术平均数、中位数和几何平均数等。
　　1．算术平均数
　　一组性质相同数据的和除以该组数据的个数所得的商称为简单算术平均数，用公式表示为：
　　　　　　
　　式中，
　　2．中位数
　　一组有序数据中，居中间位置的那个数据称为中位数，用符号M_dn表示。
　　中位数也是描述一组数据一般水平的量数，但是由于中位数是靠位置确定的，而不是用全部数据求出的，因而损失一部分信息。当一组数据存在极端值或分组数据两端有不确定组限时使用中位数。
　　3．几何平均数
　　几何平均数是指n个数据连乘积的n次方根，用符号M_G表示。
　　　　　　  
　　当一组原始数据分布没有规律或呈偏态时，可用几何平均数代表该组数据的一般水平，此时X表示每个原始数据。但实践中几何平均数主要用于描述事物的平均发展速度和增长率。
　　如果用α₀表示初始期数量，α₁ ……α_n分别表示n个发展阶段的数量，那么
　　　
　　也就是说，只要知道初始量α₀和末期量α_n，并明确发展阶段数n，就可求出某一时期内某现象的平均发展速度，而M_G –1就是平均增长率。

（二）差异量数
　　描述一组数据波动性的量数称为差异量数。一组数据除了具有规律性、集中趋势的特点，还有变异性、离中性的特点，正是这些数据上的差异，客观地反映了具体事物的实际形态。教育评价中用差异量数描述相同评价对象的某种属性评价结果的波动情况。常用的描述一组评价数据波动情况的量数主要有标准差、四分差、差异系数。
　　1．标准差
　　一组数据中的每个数据与其平均数的离差平方之和的平均数称为该组数据的方差，用符号表示；方差的算术平方根称为标准差，用符号表示。公式为：
　　　　  
　　当一组评价数据适合用算术平均数描述其规律性时，则用标准差描述其波动性。
　　为了方便计算，上述公式可以变换成下式：
　　　　　　　　               
　　　3．差异系数
　　标准差与平均数的比率称为差异系数，又称为相对标准差，符号为CV。公式为
　　　　　
　　从公式可以看出，差异系数不具有实际测量单位，是一种相对差异量数。要比较单位不同、或虽然单位相同但平均数相差比较大的两组或多组评价数据的离散性大小时，宜用差异系数。
　　（三）标准分数
　　标准分数是原始分数与平均数之差除以标准差所得之商，计算公式为
　　　　　　　　　　
　　标准分数是以平均数为参照点，以标准差为单位，描述某个原始分数在团体中相对位置的量数。
　　标准分数具有以下性质：平均数为0，即 ；标准差为1，即σ_Z=1
　　当原始分数服从正态分布时，标准分数既具有可比性又具有可加性。
　　标准分数在教育评价中的用途主要有：表明某个被评对象在群体中的相对位置；比较不同学科成绩或评价指标得分在群体中相对位置的高低；进行评价值的组合，即以标准分数之和表示总成绩或总的评价值。

、数据的统计特征量

　　用来表示统计数据分布及其某些特性的特征量分为两类：一类表示数据的集中位置，例如算术平均值、中位数等；一类表示数据的离散程度，主要有极差、标准离差、变异系数等。

　　1．算术平均值

　　算术平均值是表示一组数据集中位置最有用的统计特征量，经常用样本的算术平均值来代表总体的平均水平。总体的算术平均值用户表示，样本的算术平均值则用x表示。如果n个样本数据为x1、x2、…、xn，那么，计算样本的算术平均值。

　　2．中位数

　　在一组数据x1、x2、…、xn中，按其大小次序排序，以排在正中间的一个数表示总体的平均水平，称之为中位数，或称中值，用x-‘ 表示。n为奇数时，正中间的数只有一个；n为偶数时，正中间的数有两个，则取这两个数的平均值作为中位数，即：

　　3.极差

　　在一组数据中最大值与最小值之差，称为极差，记作R：极差没有充分利用数据的信息，但计算十分简单，仅适用于样本容量较小（n＜10）的情况。

　　4.标准偏差

　　标准偏差有时也称标准离差、标准差或称均方差,它是衡量样本数据波动性（离散程度）的指标占在质量检验中，总体的标准偏差 一般不易求得。样本的标准偏差3按下式计算：

　　5．变异系数

　　标准偏差是反映样本数据的绝对波动状况,当测量较大的量值时，绝对误差一般较大；而测量较小的量值时，绝对误差一般较小，因此，用相对波动的大小，即变异系数更能反映样本数据的波动性。变异系数用 表示，是标准偏差S与算术平均值ò 的比值。