数学方法求解约瑟夫问题(zz)---n久前的一个问题了 【摘自旧博】
来源:互联网 发布:n8设计软件专业版 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 05:00
数学方法求解约瑟夫问题---n久前的一个问题了。。
最近又遇到,竟然想不出具体程序。。。。。。只记得大概。。-,-
不得以又翻了翻以前的老帖子。。。
特此到blog转贴以下,以免以后又忘记了。。。
ps:几天不练,大脑就迟钝了。。。。晕菜儿~~~~~
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----------------以下为转贴-具体哪个牛人原创的不详--------------------------------
──── yanjunwei (Sat Jun 3 21:22:00 2006) ───────────
【以下文字转载自 yanjunwei 的信箱】
【原文由 yanjunwei 所发表】
约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]
看到这个想起了去年的省赛上,我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了,一直是WA,出了赛场才发现并
不是真正的约瑟夫问题。
对于约瑟夫问题,今天看到了一篇好帖子,是用数学方法处理的,感觉还不错的
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂
度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号
。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开
始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根
据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'
=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的
情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,
我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。
【以下文字转载自 yanjunwei 的信箱】
【原文由 yanjunwei 所发表】
约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]
看到这个想起了去年的省赛上,我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了,一直是WA,出了赛场才发现并
不是真正的约瑟夫问题。
对于约瑟夫问题,今天看到了一篇好帖子,是用数学方法处理的,感觉还不错的
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂
度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号
。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开
始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根
据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'
=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的
情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,
我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。
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另外要说明的是,这个方法只能在o(n)的方法内求出第任意某个出去的人的位置。如果要求出整个出去序列,用这个方法还是o(n^2)的。。求所以出去序列,用线段数可以做到o(nlog(n))..ms没有比这个快的了。。
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