天体运行的数学原理------N体问题的三百年

1。N体问题的起源和早期发展
(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)

在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，
二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了
23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了
非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美
的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决
又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了
说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，
即代数方程 x^n+y^n=z^n 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是我们
这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。(参看[4]) 值得一提的是，尽管
这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的
问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的
整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国
普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大
的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问
题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地
感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。

正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题
则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象
的理解。N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在
它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，
它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的
运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成
质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用
下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和
月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家
不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。然而对N体问题的全面认识就不
是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明各种千奇百怪的运动都有可能在
N体问题中出现。等到看完这篇短文，也许你就会庆幸这些奇怪的运动轨道都
没有出现在我们的星球身上，否则你就不能在这里舒舒服服地看杂志啦。

初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，
根据牛顿(Issac Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到

/begin{equation}
/begin{split}
&m_1/frac{d^2 q_{1i}}{dt^2}= k m_1 m_2 /frac{q_{2i}-q_{1i}}{r^{3}_{12}}+k
m_1 m_3 /frac{q_{3i}-q_{1i}}{r^{3}_{13}}//
&m_2 /frac{d^2 q_{2i}}{dt^2}= k m_2 m_1 /frac{q_{1i}-q_{2i}}{r^{3}_{12}}+k
m_2 m_3 /frac{q_{3i}-q_{2i}}{r^{3}_{23}}//
&m_3 /frac{d^2 q_{3i}}{dt^2}= k m_3 m_1 /frac{q_{1i}-q_{3i}}{r^{3}_{13}}+k
m_3 m_2 /frac{q_{32i}-q_{3i}}{r^{3}_{23}}, /;/; (i=1,2,3),
/end{split}
/end{equation}

其中 $m_i$ 是质点的质量，$k$ 是万有引力常数， $r_{ij}$ 是 两个质点 $m_i$ 和 $m_j$
之间的距离，而 $(q_{i1},q_{i2},q_{i3})$ 则是质点 $m_i$ 的空间坐标。所以
三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件。
(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量
个数)。而N体问题的方程也是类似的一个 $N^2$ 个方程的二阶常微分方程组。

当 $N=1$ 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。
当 $N=2$ 的时候 (二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个
不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个
质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上
看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者
直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰
伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是
这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的
“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一书中。
在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明
了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管
这两者是紧密相关的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后
的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是
微乎其微的。尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数
学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九
世纪末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了。。。。。。
 

2。 三体问题和瑞典国王的奖金
(奥斯卡国王-----米塔格莱夫勒-----庞加莱)

1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意
的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica
将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一块金牌。而比赛的题目有四个，其中
第一个就是找到N体问题的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前
把他们的参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数学家米塔格莱夫勒(Gosta
Mittag-Leffler)。所有论文将被匿名地被一个国际委员会评判以决出优胜者，然后优胜者
的论文将发表在Acta Mathematica上。这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组成：
德国的维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)，法国的赫密特(Charles Hermite)和米塔格莱夫勒
本人组成。

从现代的观点来看，这样的比赛也许有“抄作”和给新杂志做广告的嫌疑。(事实上
当时就有一些数学家这样批评这种比赛，象德国的克隆奈克(Leopold Kronecker))。但是
从历史上看，米塔格莱夫勒和奥斯卡二世的动机是好的，是为了推动科学的发展。
奥斯卡二世本人在大学中数学就学得很好，他和许多当时著名的数学家，
象维尔斯特拉斯，科瓦列夫斯卡雅(Sonya Kovalevskaya)等都有亲密的关系。而米塔格莱夫勒
更是雄心勃勃，想把这样的比赛每四年举行一次。可惜这个设想没有实现，比赛只
举办了一次就夭折了，否则的话也许今天数学的最大奖不是菲尔兹(John Charles Fields)奖
而是奥斯卡奖了(那样后来美国的电影奖大概也要考虑换个名字了)。

让我们回到比赛本身。这次比赛在当时轰动一时，虽然奖金不高，这种崇高的荣誉
是当时罕见的，要知道瑞典更有名的“炸药奖”诺贝尔(Alfred Bernhard Nobel)奖是在几年后
的1896年才开始评选的。但是由于问题的困难程度，大多数一开始跃跃欲试的数学家
后来都知难而退，最后只有四五个数学家真正交了他们的答卷。而优胜者也并不难选出，
虽然还是没有人能完整地解决任何一个问题，但是所有评委一致认为其中一份答卷
对于N体问题的解决做出了关键的贡献，应该把奖颁给这位数学家。这位获胜者就是
法国数学家，物理学家庞加莱(Jules Henri Poincar/'{e})。

庞加莱在现代数学历史上占有举足轻重的地位，他曾被称为现代数学的两个奠基人之一
(另一个是黎曼(Bernhard Riemann))，也有人称他为历史上精通当时所有数学的最后两
个人之一(另一个就是希尔伯特))。而1885年的庞加莱只有31岁，虽然已初露锋芒，但
还是一位希望能够一举成名的年轻数学家，所以这次比赛是个大好的机会，这也迫使
他先放下手上其他的工作，集中精力投入到天体力学和N体问题的研究中。庞加莱获奖的
论文“关于三体问题的动态方程”(Sur le probl/`{e}me des trois corps et les /'{e}quations de la dynamique) 最后在1890年
在Acta Mathematica上发表，论文长达270页，占了整整半卷杂志。(关于论文发表的一段
故事下面还要提到)。 这篇重要论文使原来就已有不小名气的年轻庞加莱更加誉满
整个欧洲数学界，也使他得到了新的热情和动力继续进行他在这篇论文中开始的
工作。从1892年到1899年，庞加莱陆续出版了他的三大卷宏伟巨著“天体力学的新方法”(Les M/'{e}thods
Nouvelles de la M/'{e}canique C/'{e}leste)。他的获奖论文和这三卷书可以说奠定了现代天体力学，
动力系统，微分方程定性理论，甚至混沌理论的基础，尽管大多数他的思想直到几十
年后才被广大的数学工作者所领悟进而发展成现代的数学理论。

下面我们就来简单看一看庞加莱在这一时期的工作究竟给N体问题的解决带来了什么进展。

第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分(uniform first integral)。
也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，
把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般
的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道
绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，
甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于
用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱
对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。

第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分
(invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理(recurrence theorem)。另一个例子是
他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象(first return map)的概念，在后来的动力系统理论
中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristic expontents)，解对参数的连续依赖性(continuous
dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统
理论中的基本概念。

第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptotic solutions)，同宿轨道
(homoclinic orbits) 和异宿轨道(hetroclinic orbits)，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道
或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法
预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种
现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形(stable manifold)和不稳定流形(unstable
manifold)正态相交(intersects transversally)所引起的同宿交错网(homoclinic tangle)，而这种对于轨道的长时间
行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最
早起源了。

最后应该提到的是庞加莱在做出这些重要工作时的一些逸事。1888年五月庞加莱在比赛截止日期前
交上了他的论文，六个月后他就被宣布为获胜者。评委维尔斯特拉斯虽然当时已经体弱多病，
但还是很有预见地指出这篇论文将打开天体力学历史上的一个新纪元。在1889年冬天庞加莱
的论文已经被印刷而且送到了当时最有名的一些数学家那里。就在这时负责校对的一位数学家
和庞加莱自己都发现了文章中一些证明不清楚的地方，庞加莱开始修改这些部份并且通知
米塔格莱夫勒收回了已印出的杂志予以销毁。在1890年十月，庞加莱论文的新版本才重新
问世，这也是我们今天看到的版本。事实上被销毁的版本仅有158页，而后来的版本是270
页。庞加莱坚持自己支付了印刷第一版的费用：3585克郎，也就是说算上他的奖金，他在
这次比赛中还赔了一千多克郎。但是这次修正是重要的，正是在这次修正中，庞加莱改正
了他的一个稳定性定理，最终导致了他对同宿交错网的发现。有趣的是米塔格莱夫勒原以为
他销毁了所有有错误的论文，然而近百年后在人们在瑞典米塔格莱夫勒
数学研究所的旧文件中还是发现了几本“原版”的庞加莱的论文，他们就象错版邮票一样成了
珍贵文物，也成了数学史研究者和后来的数学家研究庞加莱的宝贵资料。

另一件事是后来的人认为庞加莱并没有把他对同宿交错网的全部想法都写进他的著作，而只
是在他的书第三卷第397节中简单提了一下，以说明N体问题解的复杂性超出人们的想象能力。
现在的人猜测他可能这样做的原因是这种混沌的想法不符合当时人们对于自然界的基本哲学。
十九世纪末期知识界对于科学技术的进展是非常乐观的，人们对于物理世界的理解是给定
现实的状态，人类是有能力预测未来的。而这种混沌理论的不确定性恰恰和当时这种思想不相吻合，
所以即使是庞加莱这样伟大的科学家也对于提出这种大胆的思想持保留态度。但我们也不能
责备庞加莱的局限性，事实上对于社会上的一般公众，混沌理论是到二十世纪八十年代后，
计算机被普遍使用后才被真正接受的。今天人们还是承认庞加莱是第一个有混沌理论基本
想法的人。而在科学史上，庞加莱也被认为最有能力和机会创造狭义相对论的理论，也许还是
他性格上和哲学思想上的弱点，最后真正大胆地做到这一点的是今天家喻户晓的爱因斯坦
(Albert Einstein)。
 

3。非碰撞的奇点解：百年悬而未决的问题
(庞勒维-----冯泽培尔-----萨瑞-----夏志红-----哥维尔)

太阳系中所有行星及其它们的卫星基本上都以太阳为参照物做着周期运动。然而在宇宙中
并非所有星球都能保持这种周期运动，即使今天各种街头小报上仍然经常充斥着一些关于
将有小行星撞击地球，从而人类将面临灭顶之灾，许多好莱坞电影也使用现代科技栩栩如生
地向我们展示了这种可怕的灾难。尽管从科学上讲在短期内我们并不用杞人忧天，但是在
漫漫宇宙中，星球的碰撞并非不可能，现在许多科学家都相信曾经一度独霸地球的恐龙正是
在一次小行星撞击地球后灭亡的。

既然N体问题本来就是被用来作为星球运动的模型，我们可以猜想在N体问题某些解里会有
碰撞发生。事实上大家可以看到即使在二体问题中，如果两个质点的相对位置总在一条直
线上的话，它们是可以在有限时间内就碰撞在一起的，这样这个微分方程的解在这一时刻就
失去意义了因为方程右面某些项的分母成了零。在这种情况下我们称方程有一个奇点(singularity)，而这
个奇点就是一个碰撞(collision)。但是在微分方程的理论中，奇点并不都是这样的碰撞类型的。一个简单
的例子是方程 x'=x^2 的非零解总是在有限时间里就跑到无穷远去了，这种现象我们称之为爆破(blowup)。
我们知道对于N体问题我们一般更关心质点之间的相对位置，所以如果至少其中两个质点之间的相对
距离在有限时间里就跑到无穷远，我们就可以说爆破在N体问题中出现。如果这是真的宇宙的话，那
就意味着这个宇宙在一段时间后在没有碰撞的情况就消失到无穷远的尽头去了。这似乎大大有悖
一般人对于宇宙的认识。但是从N体问题的方程来看，这似乎并不太可能发生，因为当方程中的距离
项变大后，距离变化的速度就小了，爆破似乎就不会发生了。事实上对于二体问题，大家很容易
证明爆破不会发生。但是，当N大于二呢？大家可以从庞加莱的工作中看出，我们的回答应该谨慎
一些。。。。。。

历史上关于N体问题中奇点的研究，是由和庞加莱同时代的另一位法国数学家庞勒维(Paul Painlev/'{e})
开始的。庞勒维在数学上也许不如庞加莱声名显赫，但是另一方面数学教授只是他的职业之一。
在法国历史上，庞勒维是被作为著名的政治家记载的。在他不做巴黎大学教授的时候，他从1914年
到1933年去世为止一直在法国政府任内阁部长，并曾两度出任法国总理。
(无独有偶，在同一时代另一个做过法国总理的正是庞加莱的一位表弟)。
庞勒维对于N体问题中奇点的研究，
也和前面提到的瑞典和挪威国王奥斯卡二世的名字联系在一起。1895年奥斯卡二世邀请
庞勒维到斯特哥尔摩大学(University of Stockholm)讲学，并亲自到讲演厅和教授学生们
一起聆听庞勒维的精彩演讲。这位爱好数学的政治家和另一位爱好政治的数学家的
相逢确是数学史上一段佳话。庞勒维在斯特哥尔摩做了23次的系列演讲，给后人留下了
长达五六百页的演讲笔记，而他的主题就是微分方程中超越函数及其对N体问题奇点
的应用。庞勒维证明了在三体问题，奇点必须是碰撞解，也就是说爆破是不可能在
三体问题中出现的。但是在他笔记的第588页，他猜测当N大于三时，N体问题存在非
碰撞的奇点解。这就是后人称为庞勒维猜想的著名问题。庞勒维想象了这样一种可能性：
一个质点在其他质点之间徘徊，当它几乎和某个质点撞上时，又恰好躲开，过一会儿
又和另一个质点几乎撞上，这样周而复始但所有这一切都发生在有限时间内。然而这
种奇特的振荡形爆破是否可能发生呢？这正是庞勒维的猜想。

庞勒维拉开了长达近百年的发现N体问题非碰撞的奇点解的帏幕。做出第一个重要贡献
的是瑞典天文学家冯泽培尔(Hugo von Zeipel)，他正是1895年庞勒维演讲时在座的一个年仅22岁
的听众。在他1908年一篇仅四页的论文中，他证明了N体问题如果有非碰撞的奇点解，
那么质点间相互距离一定要在有限时间内变成无界，也就是说爆破一定要发生，尽管
这种爆破可能是庞勒维所描述的奇特的振荡形爆破。冯泽培尔的结果至少说明不会有
其他更奇怪的奇点在N体问题中出现，这一结果在1971年被美国西北大学教授萨瑞(Donald Saari)
推广到：如果有非碰撞的奇点解，质点必须有很强烈的振荡，这样
人们就更关心振荡形爆破到底会不会发生的问题了。在六十年代到八十年代的时间里，
许多数学家构造出N体问题的一些特殊解，其中有些解具有强烈的振荡性，但是它们
仍然不是真正的非碰撞的奇点解。例如俄国数学家斯特尼科夫(K. Sitnikov)在1960年构造了这样一个
三体问题的解：两个等质量的质点A和B在一个平面上互相环绕着在椭圆轨道上运动，
第三个质量很小的质点C在和平面垂直的一条直线上来回振动，只要选择合适的初始
值，C就会无穷次来回穿越AB所在平面，而且振动的幅度越来越大，最后在无穷的时间
内振幅会趋于无穷大。因为这里需要的时间是无穷，所以这个解并不是一个奇点解。
这样的解似乎有悖常理，但是数学家们用他们巧妙的构思证明了
在一定条件下这确实会发生。

1975年两位美国数学家马瑟尔(John Mather)和麦吉尔(Richard McGehee)构造了一个共线的四
体问题的解，这个解确实会在有限的时间内使某两个质点之间的距离达到无穷。但是这仍
然不是庞勒维所希望的非碰撞的奇点解，因为在这个例子中，在达到最终这个非碰撞的奇点
之前，四个共线的质点互相之间必须先有无穷多次的碰撞，所以非碰撞的奇点并不是这个
轨道中第一个奇点。在这之前，人们已经发现如果仅仅是两个质点碰撞的话，那么这个解
可以用弹性反弹在碰撞后继续下去(再多质点同时碰撞就不行了)。所以马瑟尔和麦吉尔
利用这个性质设计了这样一个奇特的例子。这以后许多人对于最后发现真正的非碰撞的奇点
解更有信心了，然而在这之后的十几年里，进展是微弱的，有人证明了如果这样的例子
确实存在于四体问题中，那么这四个质点应该几乎是在一条直线上的。也就是说
真正的非碰撞的奇点也许就跟马瑟尔和麦吉尔的例子很接近，然而时至今日，这样的四体
问题的例子还是没有人能找出来。

从庞勒维开始的近百年里，许多数学家在非碰撞的奇点问题上做出了巨大努力。而所有这些
努力最终在庞加莱发表他的重要著作一百周年时结出了硕果-----在二十世纪八十年代末到九十
年代初，这一百年悬而未决的问题终于被一位年轻的中国数学家夏志宏解决了。夏志宏1982年
毕业于中国南京大学天文学系，在上大学时就对N体问题产生了深厚兴趣。大学毕业后他来到
了美国西北大学跟随刚才提到过的萨瑞从事N体问题的研究。等到1988年他获得博士学位时，
在他的博士毕业论文中他宣称他已经找到了一个五体问题的解，这个解会在有限时间内产生
一个非碰撞的奇点。这样一个惊人的结果被一个二十几岁的学生获得了，几乎所有人的第一
个反应都不是惊喜而是怀疑。事实上夏志宏证明的初稿中确实存在表述上的缺陷，某些
关键的证明也有值得推敲之处。在这篇几乎长达百页的文章被投稿到最著名的数学杂志“数学年刊”
(Annals of Mathematics)两年后，夏志宏得到了一个模棱两可的答复，审稿的人无法判断
他的证明是否正确，但确实指出了其中的一些问题。夏志宏并不气馁，他继续改进补充他的
证明，又把修改稿投了上去。这时的数学年刊处理这篇稿件的正是前面
提到的普林斯顿大学教授马瑟尔。在1991年秋季学期，马瑟尔在普林斯顿组织了一
个讨论班专门讨论夏志宏的论文。在学期结束，马瑟尔得出结论：证明是正确的。
论文发表在1992年的数学年刊上。庞勒维猜想终于被彻底解决了。夏志宏
在毕业后曾在哈佛大学和佐治亚理工大学先后任教，1994年起他又回到了母校西北大学
任数学系的正教授， 2001年起任潘克讲座教授(Arthur and Gladys Pancoe Professor of Mathematics)。
在解决庞勒维猜想后，夏志宏又在动力系统领域做出了许多
其他的重要贡献。虽然现在仍然年纪不满四十，他已经成为国际动力系统和天体力学领域
的领袖人物之一。1999年夏志宏受聘为北京大学数学学院第一批长江计划特聘教授。

我们来看一看夏志宏构造的例子究竟是什么样子的。在五个质点中，其中四个
具有同样的质量(我们把他们叫做 $m_1, m_2, m_3, m_4$)，而第五个的质量 $m_5$ 相比之下很小。
$m_1$ 和 $m_2$ 在一个和 $x-y$ 平面平行的平面上以椭圆轨道运行，$m_3$ 和 $m_4$ 则在另一个
平行的平面上以椭圆轨道运行，他们的运动轨道恰好相反。而小质量的 $m_5$ 将保持在
$z$-轴上运动，不停地穿越其他四点所在的平面，好象充当两个平面轨道之间的穿梭
快车。这里我们注意到 $m_5$ 虽然将穿过这两个平面无穷次，但并没有经过这两对质点的
轨道。另一方面这两对椭圆轨道都很扁，所以时间选取得好的话， $m_5$ 穿过轨道平面时，
两个质点也几乎处于最近距离的位置，所以这时三个质点的距离都很近，几乎是一个三重碰撞。
事实上夏志宏的设想就是这样，当 $m_5$ 接近其中一个轨道平面时，总是有一个近乎
三重碰撞发生，然后$m_5$ 又被弹到另一平面附近，重复同样的过程只是方向相反。
这样周而复始，$m_5$ 的加速度越来越大，最后使得两个轨道平面的距离在有限时间里
趋向了无穷大。这种听起来并不复杂的想法在数学实施起来就困难多了。关键是怎样
找到这样的初始条件。在所有可能的初始条件中，当$m_5$ 每进行一次穿梭，那些会导致
平面质点对会碰撞或者使$m_5$经过轨道平面时间不好的初始条件都被去掉了，经过无穷
次这样的去除，夏志宏证明了还是有一个象康托集一样的集合没有被去掉，在这个集合
中的初始条件就会导致非碰撞的奇点。在证明过程中，夏志宏不仅要克服繁复的计算带来
的技术困难，他也引进了很多新的想法。更重要的是，他使用了近百年来几代数学家
在研究N体问题中发展出来的所有精华理论和技巧，在这个坚实基础上为非碰撞奇点问题这座
建造了一百年的大厦终于砌上了最后一块也是最美丽的宝石。

值得一提的是，在夏志宏正在为他的论文做后期修改的时候，另一位美国数学家哥维尔
(Joseph Gerver)在听到夏志宏的结果后，深受震动。他本人也已经在这一领域耕耘多年，
事实上他本人也很接近构造出一个非碰撞奇点的例子，只是似乎已经到了科学真理殿堂前
却怎么也找不到最后一把钥匙。然而在夏志宏成功的激励下，他在几个月后也终于完成
了他的构造。他的例子和夏志宏的完全不一样，他的系统中有3N个质点对称地以某种方式
排在平面上。但是在他的例子中，这个数字N只知道是个很大的整数，但不清楚到底多大
才可以实现。但是不管怎样，庞勒维的猜想在一百周年时有了两种炯然不同的完整答案，
并且在实现这一光辉目标的路途中，天体力学和动力系统的理论又被大大发展许多许多。
 

4。后记

尽管N体问题中著名的庞勒维猜想已经在上个世纪结束前被成功地解决了，N体问题本身
还是有太多的神秘领域值得新世纪的年轻数学家们探索。也许在今后几个世纪里，
N体问题将仍然是新的数学和新的思想的源泉，就象过去的三百年一样。例如近年来
在三体问题周期解方面又有最新进展，一种三个质点在一个平面8字形轨道上周期运动
的解被法国数学家陈思纳(Alain Chenciner)和美国数学家蒙哥马利(Richard Montgomery)发现，
而且进一步的计算机数值模拟还发现了更多的具有各种奇特轨道的周期解。关于这方面
的最新研究成果，请参看文献[5]。
 

对于N体问题的历史，历史进展，和相应数学发展的过程，一本更详细的通俗读物是美国
普林斯顿大学出版社1996年出版的“天体的邂逅，稳定性和混沌的起源”
(Celestial Encounters, the origins of chaos and stability)[3]
一书，作者是Florin Diacu 和 Philip Holmes。对于本文所涉及的内容，此书有非常
详细而又通俗易懂的介绍，同时书中还提及了我们这篇文章没有谈到的符号动力系统与混沌
(symbolic dynamics and chaos), 天体运动的稳定性问题和著名的KAM理论。大学理工科
学生完全有能力读懂这本引人入胜的小书，进而通过阅读这本书了解到许多二十世纪
数学和天体力学最重要的一些进展，也能对N体问题这一最基本的物理问题有初步的
认识。

关于庞加莱在三体问题上的工作，读者可参看美国数学会和伦敦数学会1997年联合出版的
“庞加莱和三体问题”(Poincar/'{e} and the three body problem)[1]一书。作者是June Barrow-Green，
一位专门从事数学史研究的学者。从中我们可以看到许多当时的原始历史资料
和更多的历史逸事。关于庞勒维猜想及夏志宏的解决方法，读者也可以参看两篇英文
的短文[2]和[6]。本文的大多数内容也取材于上述参考文献。
 

参考文献：

[1] Barrow-Green, June, Poincar/'{e} and the three body problem. History of Mathematics, 11.
     American Mathematical Society & London Mathematical Society, 1997.

[2] Diacu, Florin N., Painlev/'{e}'s conjecture. Mathematical Intelligencer, 15 (1993), no. 2, 6--12.

[3] Diacu, Florin; Holmes, Philip, Celestial encounters. The origins of chaos and stability.
     Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996.

[4] Hilbert, David, Mathematical Problems. Bulletin of American Mathematical Society 8 (1902), 437--479.
      Reprinted in Bulletin of American Mathematical Society 37 (2000), no. 4, 407--436.

[5] Montgomery, Richard, A new solution to the three-body problem.
      Notices of American Mathematical Society 48 (2001), no. 5, 471--481.

[6] Saari, Donald G.; Xia, Zhihong, Off to infinity in finite time.
      Notices of American Mathematical Society 42 (1995), no. 5, 538--546.