有关数论的两道题的解法

1.p是大于5的素数，求证240∣p^4-1。

2.a b c∈Z   且a+b+c=0   设d=a^1999+b^1999+c^1999 ，
   求证：∣d∣不是素数。

解答:

 

1. 第一题

证明:p^4-1=(p^2+1)(p-1)(p+1)

240=2^4*3*5=4*2*2*3*5

所以若证明240|p^4-1
只需证明(p^2+1)(p-1)(p+1)含有4 2 2 3 5因子
因为p是素数 所以p一定不是2 4 3 5的倍数
因为p大于5
所以p一定为奇数 因此(p^2+1)一定为偶数 即含有因子2……①

现设p=4k+1或p=4k+3(k∈N+)

则有p-1=4k p+1=4k+2 (p=4k+1)
   或p-1=4k+2 p-1=4(k+1) (p=4k+3)
所以(p-1)(p+1)中一定有一个是4的倍数 一个是2的倍数……②

又设p=3k+1或p=3k+2(k∈N+)

则有p-1=3k p+1=3k+2 (p=3k+1)
   或p-1=3k+1 p+1=3(k+1) (p=3k+2)
所以(p-1)(p+1)中一定有一个是3的倍数……③

再设:p的个位数是m 则只能有m=1,3,7,9

当m=1时,(p-1)个位数是0 此时5|p^4-1
当m=3时,(p^2+1)个位数是0 此时5|p^4-1
当m=7时,(p^2+1)个位数是0 此时5|p^4-1
当m=9时,(p+1)个位数是0 此时5|p^4-1 ……④

综上所述 由①②③④得：(p^2+1)(p-1)(p+1)含有4 2 2 3 5因子
所以240∣p^4-1

命题得证.

 

2.第二题   费马小定理 a^1999≡a(mod1999)   
∴1999∣a^1999-a   
同理
1999∣b^1999-b   
1999∣c^1999-c  
∴ 1999∣a^1999+b^1999+c^1999   而a+b+c=0   所以 a^1999+b^1999+c^1999≠1999 

所以1999为∣d∣的一个因数 

即∣d∣不是素数

想知道什么是费马小定理请自行摆渡百科

还有一种解法：

因为a+b+c=0 所以c=-(a+b)

所以d=a^1999+b^1999-(a+b)^1999

       |d|=|C1 1999*a^1998*b+C2 1999*a^1997*b^2+…………C1998 1999*a*b^1998|(二项式定理展开)

很容易从中提出|a| |b| |ab|三个约数。

下面用反证法证明：|d|不是素数。

如果|d|为素数 则必须满足：三者中必有两个相等 且至少有一个为1.

假设|a|=|b|

若|a|=1 则|a|=|b|=|ab|=1

容易解出|d|=0或2^1999-2 均为非素数；

若|ab|=1 则|a|=|b|=1.由已证知|d|仍为非素数。

所以 假设不成立。

假设|a|=|ab|(|b|=|ab|同理可证)

则|b|=1 |a|≠1.

若|a|为奇数

因为|d|=a^1999+(±1)^1999-(a±1)^1999

所以|d|必为偶数;

若|a|为偶数

因为|d|=|C1 1999*a^1998*b+C2 1999*a^1997*b^2+…………C1998 1999*a*b^1998|

所以|d|必为偶数.

当|a|≠1时 |d|≠2

所以|d|为非2的偶数.即一定不是素数.

所以假设不成立.

综上 因为假设全都不成立,所以|d|不是素数.

命题得证。