猴王问题即约瑟夫算法解题过程-----我的推导过程（原创，转发请注明出处）

猴王问题可以做如下描述：

 

有n只猴子围成一圈,从第一个开始数,数到第m个将其踢出,接着后面继续从1数,如此循环,直到只剩最后一只z,那只就是猴王.输入n,m.输出z.

 

初次看到这个题目的时候，首先想到是实现一个循环列表，通过n次循环模拟该过程。

但是该方法有一个明显的缺点：

如果n的数值过大，程序很可能找不到足够的空间来实现循环列表。并且也有时间开销的问题。

 

 

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这时需要分析数据特点，看看怎样才能在节约空间的情况下实现数据取值：

 

不用存储所有的数据，那就需要通过循环一个一个的去分析每个位置上的猴子。能够当王的猴子，必然不会在n-1次循环中被选中。那么可不可以对每一个猴子模拟挑选过程，最后通过判定是否能通过n-1次选择来判定谁是猴王？

假设猴子在经过j 轮循环之后当前位置是A_j,那么j+1轮循环之后该猴子在什么位置？

假设该猴子在j+1轮没有被选中那么我们需要首先计算出以下几个数值

1.j 轮之后还剩下n-j个猴子

2.j+1 轮选中的猴子其当前位置是 m%(n-j)

3.所以j+1轮之后该猴子的位置是

if A_j>m%(n-j)

下一轮的位置是

n-j-m%(n-j)-[(n-j)-A_j]=A_j-m%(n-j)

 

if A_j<m%(n-j)

下一轮的位置是

n-j-m%(n-j)+A_j

 

两个公式可以合并为：

A_j-m%(n-j)+（n-j)*{[m%(n-j)-A_j]/|[m%(n-j)-A_j]|+1}/2

 

即

A_j+1=A_j-m%(n-j)+（n-j)*{[m%(n-j)-A_j]/|[m%(n-j)-A_j]|+1}/2

 

---------这样我们就可以通过对比A_j和 m%(n-j)值来判定猴子每一个猴子在那一轮被选中，从而得到猴王。

 

----看文章的各位，现在我要提一个问题了。

 

我们知道在任何给定n，m值的情况下，当还剩下两只猴子的时候

A_j+1=1 ， n-j=2 ，那么根据猴王选择本身的数据特性，逆推上面的公式我们能够得到在刚开始猴王的位置吗？

 

-------麻烦各位跟我一起思考！！！