趣题:三角形两顶点在直线上滑动时第三点的轨迹
来源:互联网 发布:冒险岛装备数据库 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 15:26
如图,两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上,顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变,让点 A 和点 B 在所在直线上滑动,那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形?
答案:是一个椭圆。
为了证明这一点,我们过 O 、 A 、 B 三点做一个圆,并把圆心记作 M 。过 M 、 C 两点作一条直线,直线与圆相交于 P 、 Q 两点。注意到由于 PQ 是圆的直径,因此 ∠POQ 始终为直角。在 △ABC 移动的过程中,圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变。既然圆的直径总是相同的,因此我们可以把这个圆重新描述为过 A 、 B 两点的一个指定直径的圆,这样的话整个圆以及 P 、 Q 的位置就唯一地由 △ABC 决定了。这样,弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变,但它的弧度总保持不变,因此其圆周角也不会变化,即 ∠AOP 和 ∠AOQ 总是定值。既然 A 的轨迹是一条直线,那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。而 ∠POQ 始终是 90° ,因此 P 、 Q 的轨迹实际上是过 O 点的两条垂直线。
以这两条垂直线作为坐标系,我们便可以以一个全新的角度来描述 C 的轨迹了。我们可以把定长线段 PQ 看作是在这个坐标系上滑动,而点 C 的轨迹则是 PQ 上的一定点移动的轨迹。设 C 到 P 的距离为 a , C 到 Q 的距离为 b ,由于 sin(∠OPQ) 和 sin(∠OQP) 的平方和总为 1 ,因此显然 C 点的坐标 (x,y) 总满足 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 。因此,点 C 的轨迹就是以 OP 、 OQ 为轴的椭圆了。
来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/EllipseByVanSchooten.shtml
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