1874: Relatives欧拉函数

    欧拉函数用来计算比n小且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

    (1)当n为质数时，显然φ(n)=n-1；

    (2)当n为质数P^k时，φ(n)=p^k - p^(k-1)

      证明：已知少于小于p^k的正整数个数为p^k-1个，其中 和p^k不互质的正整数有{p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}共计p^(k-1)-1个 所以Φ(n) = p^k -1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1 )

      (3)当n=p×q，p、q均为质数时，φ(n)=φ(p)*φ(q)

      证明：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
      考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
      而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
    1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
    2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
    3) {0}
      Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

      (4)设n=p1^a1*p2^a2...pk^ak
         可以得出φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)

      (5)实际的实现：
    我们用根号N的时间，将n分解，根据第三点，分别算出每个质因子的欧拉函数，再相乘即可。
    复杂度O(根号N)

 

 

 

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StatusIn/OutTIME LimitMEMORY LimitSubmit TimesSolved UsersJUDGE TYPEstdin/stdout3s8192K416178Standard

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.

There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.

For each test case there should be single line of output answering the question posed above.

Sample Input

7120

Output for Sample Input

64

#include<stdio.h>
int main()
{    
 int n,k;    
 while(scanf("%d",&n)&&n)    
 {        
  int b=n;k=2;        
  int res=n;        
  while(k<=b)        
  {            
   if(b%k==0)            
   {                
    res-=res/k;                
    b/=k;            
   }            
   while(b%k==0) b/=k;            
   if(b==1) break;           
   k++;        
  }        
  if(b==n) 
  {
   printf("%d/n",n-1);
   continue;
     }        //if(b>1&&b<n)  res-=res/k;  
  printf("%d/n",res);    
 }    
 return 0;
}

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
 //freopen("in.txt","r",stdin);
 //freopen("out.txt","w",stdout);
 int n,res,m,i;
 while((scanf("%d",&n),n)!=0)
 {
  if(n==1) printf("1/n");
  else
  {
  res=n;
  m=n;
  i=2;
  while(res>1&&i<=n)
  {
   if(res%i==0) m=m/i*(i-1);
   while(res%i==0)
    res=res/i;
   i++;
  }
  if(res==n) printf("%d/n",n-1);
      else  printf("%d/n",m);
  }
 }
 return 0;
}