Dynamic Programming之Longest Increasing Subsequence (LIS)问题

Longest Increasing Subsequence（LIS）问题属于经典的DP问题。

 

其DP是模型：

对于序列a[total],使用lis[i]表示前i位包含第i个元素的LIS，因此有转移方程

 

if(a[j] > a[i])

lis[j] = max( list[i] + 1, list[j])

 

算法描述如下：
       

for i = 1 to total-1
  for j = i+1 to total
    if a[j] > a[i] then
      if lis[i] + 1 > lis[j] then
        lis[j] = lis[i] + 1

        这个算法的时间复杂度为O（n²）。举个例子来演示这个算法，取一个序列初始化如下:

a = {9, 5, 2, 8, 7, 3, 1, 6, 4}
lis = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}//初始化时lis全部要初始化为1，这与以往经典的DP问题不同

然后使用这个算法，可以得到如下的结果:

a = {9, 5, 2, 8, 7, 3, 1, 6, 4}
lis = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3}

 

C++实例如下：

//dp for LIS problem#include<iostream>using namespace std;const int N = 1000;int a[N];int lis[N];int total;int dp(){int i;for(i = 1;i <= total;i++)lis[i] = 1;for(i = 1;i <= total-1;i++)for(int j = i+1;j <= total;j++)if(a[j] > a[i])if((lis[i]+1) > lis[j]) lis[j] = lis[i] + 1;return lis[total];}int main(){while(cin>>total){memset(a,0,sizeof(0));for(int i = 1;i <= total;i++)cin>>a[i];dp();for(int j = 1;j <= total;j++)cout<<lis[j]<<" ";cout<<endl;}return 0;}