题型与解法

我对本文的定位是题型. 高手请忽略.

本文会随时进行必要的更新, 如果你有一些经典题目和一些经典题型, 请您一定告诉我哟~

部分摘自黑书.

 

 

动态规划

动态规划的两种动机:

1. 利用递归的重叠子问题,进行记忆化求解,即先用递归法解决问题,再利用重叠子问题转化为动态规划.

例,

1)括号序列

2)棋盘分割

3)决斗

2. 把问题看成多阶段决策过程.

例,

1)舞蹈家怀特先生

2)积木游戏

可以通过增加维数的方法来消除后效应, 也可以在保持无后效应性的前提下改变状态定义,以得到更多的重叠子问题.

当问题不具备最有子结构时,通常通过增加维数的办法来解决.

常见模型:

1. 线性模型

例,

1)方块消除

2)公路巡逻*

3)并行期望值*

4)高性能计算*

2. 串模型

1)模板匹配(常为s[i][j] 和 s[i][j-1] s[i-1][j]的关系)

2)不可分解的编码*

3. 区间模型

1)青蛙的烦恼(常为d[s][L][x]从s起长度为L的一个区间, 对于某些特定问题,x可以用来选择区间的起点)

2)排列问题 

3)最优排序二叉树*

 

4.状态压缩模型

1)Bugs公司*

2)迷宫统计*

3)贪吃的九头蛇*

 

我的分类:

一. 递归向下分解成更小的问题, 转化为动态规划向上

 

1. 分苹果问题(pku 1664)

2. 整数分割问题(王晓东<<算法分析与设计>>)

3. 买书问题(编程之美1.4可以看到这道题)

 

二. 背包问题

贴一份源代码:

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 4#define W 6int opt[N+1][W+1]; //i:0~N-1, j:0~Vint w[N+1] = {1,2,3,4};int v[N+1] = {0,2,4,5};//用后i-N+1个物品(i,i+1,...N-1), 包的容量为j时的最大价值.//写法一, 较麻烦int knapsack(){int tmp = min(w[N-1], W);for(int i = 0; i < tmp; ++i)opt[N-1][i] = 0;for(int i = w[N-1]; i <= W; ++i)opt[N-1][i] = v[N-1];for(int i = N-2; i >= 0; --i)for(int j = 0; j <= W; ++j){opt[i][j] = opt[i+1][j];if(j >= w[i]){int value = opt[i+1][j-w[i]] + v[i];if(value > opt[i][j])opt[i][j] = value;}}return opt[0][W];}//写法二, 稍微简略int knapsack2(){for(int i = 0; i <= W; ++i)opt[N][i] = 0;for(int i = N-1; i >= 0; --i)for(int j = 0; j <= W; ++j){opt[i][j] = opt[i+1][j];if(j >= w[i]){int value = opt[i+1][j-w[i]] + v[i];if(value > opt[i][j])opt[i][j] = value;}}return opt[0][W];}//节省空间int space_opt[2][W+1];int space_opt_knapsack(){int tmp = min(w[N-1], W);for(int i = 0; i < tmp; ++i)opt[0][i] = 0;for(int i = w[N-1]; i <= W; ++i)opt[0][i] = v[N-1];int cc = 1;for(int i = N-2; i >= 0; --i){cc = 0?1:0;for(int j = 0; j <= W; ++j){opt[(cc+1)%2][j] = opt[cc%2][j];if(j >= w[i]){int value = opt[cc%2][j-w[i]] + v[i];if(value > opt[(cc+1)%2][j])opt[(cc+1)%2][j] = value;}}}return opt[cc][W];}//备忘录法(又称记忆化搜索), 不需要计算的不做计算int f(int i, int j){if(i == N)return 0;if(opt[i][j] != -1)return opt[i][j];if(j >= w[i])return max(f(i+1, j-w[i])+v[i], f(i+1, j));elsereturn f(i+1, j);}void knapsack_recursion_test(){memset(opt, -1, sizeof(opt));cout << f(0, W) << endl;}int main(){knapsack_recursion_test();return 0;}

 

哈希法

 

一. 直接哈希, 相当于打表, 不再多言

 

二. 直接哈希的空间优化

   当某些元素已经不必要时, 我们将其删除, 以减小空间的消耗

   比如, 在几G空间中, 只有一个数出现了一次, 其他都出现了两次, 对其进行hash, 每当一个ID出现两次后, 可以将其空间释放.

 

异或运算的运用

 

一. 利用异或寻找数列中出现奇数次的数

 

问题: 在几G空间中, 只有一个数出现了一次, 其他都出现了两次, 找出这个数?

因为有A^A=0 A^0 = A, 我们可以把所有数做异或运算, 所以我们可以找出这个数.

 

问题: 在几G空间中, 所有数都出现了两次, 结果丢失了两个数, 如何找出这两个数A, B?

我们可以把所有数做异或运算, 如果结果为0, 那么说明丢失的是两个相等的数(A=B);

否则, 丢失的是不同的两个数, 所有数的异或不为0, 其结果必有一位为1, 那么A,B有且就有一个的这一位也为1.

我们把所有数根据这一位分为两类, 一类这位为0, 一类这位为1,假设第一类含A, 第二类含B, 那么第一类所有数的异或值必为A, 第二类所有数的异或值必为B.

 

待续...