编号（长度）为状态的动态规划（LCS，LIS等）

这一系列的文章是一步步的按照Amber大牛的DP总结一步步的写各个分类的DP的记录。

之后做DP会更新增加这一系列的文章的内容的。

共性总结

  本类的状态是基础的基础，大部分的动态规划都要用到它，成为一个维。

  一般来说，有两种编号的状态：

  状态（i）表示前i个元素决策组成的一个状态。

  状态（i）表示用到了第i个元素，和其他在1到i-1间的元素，决策组成有的一个状态。

 

题库：

a)最长的不下降子序列（LIS）（有O（n^2）,O(nlgn)两种）

以一元组(i)作为状态，表示第i个作为序列的最后一个点的时候的最长序列。于是很容易想到O(n2)得算法。但本题可合理组织状态，引入一个单调的辅助数组，利用单调性二分查找，优化到O(nlogn)。

 

O(n^2):

很显而易见的DP方程，

状态：dp[i]表示到第i个元素为结尾的最长不下降子序列的长度。

状态转移方程：dp[i] = max(dp[j])+ 1 (j <i&& num[i] <= num[j] );

 

 

O（n * lgn） :

状态：f[i]表示长度为i的最长不下降子序列最后一个元素的最大的值。f数组一定是单调的

状态转移方程：如果第i个元素小于等于于当前最长len的f[len],则f[++len] = num[i] ;

否则二分去找最靠后的f[]使得其值大于等于当前的值，更新其后面那个长度的f值后就可以了的。

 

 

题目：

拦截导弹(NOIP99 Advance 1)

http://acm.nuaa.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1005

 

这题之前做的是http://judge.noi.cn/problem?id=1084这个题目的，因为不知道数据范围，所以用的nlgn的算法。

这题第一个问题很明显的最长不下降子序列的。第二个问题，我之前想的是一直去找最长不下降子序列，然后记录最长的那个上的元素，直到没有被标记的就结束了的。写了后交了结果是40分，把我郁闷到了。正好红薯在边上，他说这个第二问有另外一种方法，就是利用Dilworth去求解最小链划分等于最长反链。相关证明在http://hi.baidu.com/lambda2fei/blog/item/c48f61a531f20bfb9152eec0.html

其实我理解就是，在一个偏序集里面，如果一个满足偏序集的一个最小的划分，等于与此偏序集相反的比较的那个偏序集的最长链。。。就是说：最长不下降子序列的最小划分等于最长上升子序列；最长不上升子序列的最小化分等于最长下降子序列等等。。。。如果想深入研究请参考那篇blog我是没看懂证明过程。

写完之后交了还是得了40分，把我郁闷到了。然后还有一个oier找我说我过了，问我咋做的，我回复说我才得到了40分。郁闷到了，就直接在南航的那个交了，结果1Y。。。囧。。。。

 

Beautiful People (sgu199)

http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=199

这题题意就是说给你N个人，分别有两个属性，s, b.如果两个人s1< s2 &&b1<b2 || s1>s2 &&b1>b2才能在一起，现在问你能有最多有多少个人可以再一起。然后输出最多的人数，和人的标号。n的范围10^5;

直接对第一维s排序（排序当s相等的时候，把b大的放在前面）然后就是一个最长上升子序列了的。因为n比较大，所以你不能n^2的去做，只能nlgn的去做，但是这个题目要输出路径，所以要想下那个nlgn的过程，然后那个路径如何去记录的。

nlgn的过程中，是以长度为下标的。是要不断的更新的，所以你在记录path的过程中，是要有另外的一个辅助数组去记录长度为i的此时是标号为几的index数组。然后在DP的过程中去更新他们。在输出的过程中，不能一直按照path去递归的去输出，要找到最长的那个最后一个元素是谁，然后跑一个长度len的循环去输出解。。

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#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
using namespace std;  
int kx[100005];  
int path[100005];  
int len ;   
 
struct node{  
    int a,b;   
    int index ;  
}stu[100005];  
int flage[100005];  
 
bool cmp(const struct node p1 , const struct node p2 ){  
    if(p1.a== p2.a)return p1.b > p2.b;  
    return p1.a <p2.a;  
}  
 
int Binary_search(int val){  
    int l = 1 , r = len ;   
    int res = 0 ;  
    while( l <= r ){  
        int mid = (l+r)>>1;  
        if( kx[mid] < val){res = mid; l = mid +1;}  
        else r = mid  - 1 ;  
    }  
    return res;  
}  
 
int main(){  
    int n ,tx;   
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
        for(int i = 0 ; i < n ;++i){scanf("%d %d",&stu[i].a,&stu[i].b);stu[i].index=i+1;path[i] = -1 ;}  
        sort(stu,stu+n,cmp);  
        len = 0;  
        kx[++len]  = stu[0].b;  
        for(int i = 1; i < n ;++i ){  
            if(stu[i].b > kx[len] ){kx[++len] = stu[i].b,path[i] = flage[len-1];flage[len] = i;}  
            else {  
                tx = Binary_search(stu[i].b);  
                if(kx[tx+1] > stu[i].b){ kx[tx+1] = stu[i].b;flage[tx+1] = i;path[i] = flage[tx];}  
            }  
        }  
        printf("%d/n",len);  
        tx = flage[len--];  
        printf("%d",stu[tx].index);  
        while(len--){  
            tx = path[tx];  
            printf(" %d",stu[tx].index);  
        }  
        printf("/n");  
    }  
    return 0;  
} 
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int kx[100005];
int path[100005];
int len ;

struct node{
 int a,b;
 int index ;
}stu[100005];
int flage[100005];

bool cmp(const struct node p1 , const struct node p2 ){
 if(p1.a== p2.a)return p1.b > p2.b;
 return p1.a <p2.a;
}

int Binary_search(int val){
 int l = 1 , r = len ;
 int res = 0 ;
 while( l <= r ){
  int mid = (l+r)>>1;
  if( kx[mid] < val){res = mid; l = mid +1;}
  else r = mid  - 1 ;
 }
 return res;
}

int main(){
 int n ,tx;
 while(scanf("%d",&n)!=EOF){
  for(int i = 0 ; i < n ;++i){scanf("%d %d",&stu[i].a,&stu[i].b);stu[i].index=i+1;path[i] = -1 ;}
  sort(stu,stu+n,cmp);
  len = 0;
  kx[++len]  = stu[0].b;
  for(int i = 1; i < n ;++i ){
   if(stu[i].b > kx[len] ){kx[++len] = stu[i].b,path[i] = flage[len-1];flage[len] = i;}
   else {
    tx = Binary_search(stu[i].b);
    if(kx[tx+1] > stu[i].b){ kx[tx+1] = stu[i].b;flage[tx+1] = i;path[i] = flage[tx];}
   }
  }
  printf("%d/n",len);
  tx = flage[len--];
  printf("%d",stu[tx].index);
  while(len--){
   tx = path[tx];
   printf(" %d",stu[tx].index);
  }
  printf("/n");
 }
 return 0;
}

 

 

Segment (ural 1078)

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1078

这个题目就是给你n个线段有起始点终止点。让你求一个最大的子集，使得子集里面的线段一个能被另外一个完全包含。

按照第一位排序就是个简单的最长下降子序列的。

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#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
 
struct node {  
    int a , b ;   
    int index;  
}stu[505];  
int dp[505];  
int path[505];  
 
bool cmp(const struct node p1 , const struct node p2 ){  
    if( p1.a == p2.a )return p1.b<p2.b;  
    return p1.a < p2.a;  
}  
 
int main(){  
    int n ;   
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
        for(int i = 0 ; i < n ;++i){  
            scanf("%d%d",&stu[i].a,&stu[i].b);  
            dp[i] =1,path[i] = -1 ;   
            stu[i].index = i +1;  
        }  
        sort(stu,stu+n,cmp);  
        for(int i = 1 ; i < n ;++i)  
        {  
            int k = - 1 , min = -1;   
            for(int j = 0 ;j < i +1;++j){  
                if( stu[j].b>stu[i].b && dp[j] > min )  
                    k = j , min = dp[j] ;   
            }  
            if( k != -1&& dp[i]<min+1){  
                dp[i] = min+1 ;  
                path[i] = k;  
            }  
        }  
        int k = - 1, min = -1 ;  
        for(int i = 0 ; i <n;++i)  
            if( dp[i] > min ){  
                min = dp[i] ;   
                k = i ;  
            }  
        printf("%d/n",dp[k]);  
        printf("%d",stu[k].index);  
        while( path[k] !=-1){  
                k = path[k];  
                printf(" %d",stu[k].index);  
            }  
        printf("/n");  
    }  
    return 0 ;  
} 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct node {
 int a , b ;
 int index;
}stu[505];
int dp[505];
int path[505];

bool cmp(const struct node p1 , const struct node p2 ){
 if( p1.a == p2.a )return p1.b<p2.b;
 return p1.a < p2.a;
}

int main(){
 int n ;
 while(scanf("%d",&n)!=EOF){
  for(int i = 0 ; i < n ;++i){
   scanf("%d%d",&stu[i].a,&stu[i].b);
   dp[i] =1,path[i] = -1 ;
   stu[i].index = i +1;
  }
  sort(stu,stu+n,cmp);
  for(int i = 1 ; i < n ;++i)
  {
   int k = - 1 , min = -1;
   for(int j = 0 ;j < i +1;++j){
    if( stu[j].b>stu[i].b && dp[j] > min )
     k = j , min = dp[j] ;
   }
   if( k != -1&& dp[i]<min+1){
    dp[i] = min+1 ;
    path[i] = k;
   }
  }
  int k = - 1, min = -1 ;
  for(int i = 0 ; i <n;++i)
   if( dp[i] > min ){
    min = dp[i] ;
    k = i ;
   }
  printf("%d/n",dp[k]);
  printf("%d",stu[k].index);
  while( path[k] !=-1){
    k = path[k];
    printf(" %d",stu[k].index);
   }
  printf("/n");
 }
 return 0 ;
}
 

 

 

 

LCS

poj 1080 :Human Gene Functions

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1080

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#include<iostream>  
using namespace std;  
char a[160],b[160];  
int df[160][160],La,Lb;  
int we[5][5]={  
                                5, -1, -2, -1, -3,  
                                -1, 5, -3, -2, -4,  
                                -2, -3, 5, -2, -2,  
                                -1, -2, -2, 5, -1,  
                                -3, -4, -2, -1, -127  
};  
int main()  
{  
    int i,j,n;  
    char c;  
    scanf("%d",&n);  
    while(n--)  
    {                
        scanf("%d",&La);  
        scanf("%c",&c);  
        for(i=0;i<La;i++)  
        {  
            scanf("%c",&a[i]);  
            switch(a[i])  
            {   case 'A':a[i] = '0';break;  
                case 'C':a[i] = '1';break;  
                case 'G':a[i] = '2';break;  
                case 'T':a[i] = '3';break;  
            }  
        }  
        scanf("%d",&Lb);  
        scanf("%c",&c);  
        for(i=0;i<Lb;i++)  
        {  
            scanf("%c",&b[i]);  
            switch(b[i])  
            {   case 'A':b[i] = '0';break;  
                case 'C':b[i] = '1';break;  
                case 'G':b[i] = '2';break;  
                case 'T':b[i] = '3';break;  
            }  
        }  
        df[0][0]=0;  
        for(i=1;i<=La;i++)  
            df[i][0]=df[i-1][0]+we[a[i-1]-'0'][4];  
        for(i=1;i<=Lb;i++)  
            df[0][i]=df[0][i-1]+we[4][b[i-1]-'0'];  
        for(i=1;i<=La;i++)  
            for(j=1;j<=Lb;j++)  
            {  
                df[i][j]=df[i-1][j-1]+we[a[i-1]-'0'][b[j-1]-'0'];  
                if(df[i][j]<(df[i-1][j]+we[a[i-1]-'0'][4]))  
                    df[i][j]=df[i-1][j]+we[a[i-1]-'0'][4];  
                if(df[i][j]<df[i][j-1]+we[4][b[j-1]-'0'])  
                    df[i][j]=df[i][j-1]+we[4][b[j-1]-'0'];  
            }  
        printf("%d/n",df[La][Lb]);  
    }  
    return 0;  
} 
#include<iostream>
using namespace std;
char a[160],b[160];
int df[160][160],La,Lb;
int we[5][5]={
        5, -1, -2, -1, -3,
        -1, 5, -3, -2, -4,
                                -2, -3, 5, -2, -2,
                                -1, -2, -2, 5, -1,
                                -3, -4, -2, -1, -127
};
int main()
{
 int i,j,n;
 char c;
 scanf("%d",&n);
 while(n--)
 {             
  scanf("%d",&La);
  scanf("%c",&c);
  for(i=0;i<La;i++)
  {
   scanf("%c",&a[i]);
   switch(a[i])
   { case 'A':a[i] = '0';break;
    case 'C':a[i] = '1';break;
                case 'G':a[i] = '2';break;
                case 'T':a[i] = '3';break;
            }
  }
  scanf("%d",&Lb);
  scanf("%c",&c);
  for(i=0;i<Lb;i++)
  {
   scanf("%c",&b[i]);
   switch(b[i])
   { case 'A':b[i] = '0';break;
    case 'C':b[i] = '1';break;
                case 'G':b[i] = '2';break;
                case 'T':b[i] = '3';break;
            }
  }
  df[0][0]=0;
  for(i=1;i<=La;i++)
   df[i][0]=df[i-1][0]+we[a[i-1]-'0'][4];
  for(i=1;i<=Lb;i++)
   df[0][i]=df[0][i-1]+we[4][b[i-1]-'0'];
  for(i=1;i<=La;i++)
   for(j=1;j<=Lb;j++)
   {
    df[i][j]=df[i-1][j-1]+we[a[i-1]-'0'][b[j-1]-'0'];
    if(df[i][j]<(df[i-1][j]+we[a[i-1]-'0'][4]))
     df[i][j]=df[i-1][j]+we[a[i-1]-'0'][4];
    if(df[i][j]<df[i][j-1]+we[4][b[j-1]-'0'])
     df[i][j]=df[i][j-1]+we[4][b[j-1]-'0'];
   }
  printf("%d/n",df[La][Lb]);
 }
 return 0;
}

 

 

 

poj 1159 :Palindrome

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1159

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#include<iostream>  
#include<string>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
short c[5001][5001];  
int n;  
int myf(string s1,string s2)  
{  
    int i,j;  
    for(i=0;i<=n;++i)  
        c[i][0]=0;  
    for(i=0;i<=n;++i)  
        c[0][i]=0;  
    for(i=1;i<=n;++i)  
        for(j=1;j<=n;++j)  
        {  
            if(s1[i-1]==s2[j-1])  
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;  
            if(s1[i-1]!=s2[j-1])  
            {  
                    if(c[i-1][j]>c[i][j-1])  
                        c[i][j]=c[i-1][j];  
                    else 
                        c[i][j]=c[i][j-1];  
            }  
        }  
            return 0;  
}  
int main()  
{  
    string s;  
    int i;  
    while(cin>>n)  
    {  
        cin>>s;  
        string rs(s);  
        for(i=0;i<5001;++i)  
            for(int j=0;j<5001;++j)  
                c[i][j]=0;  
        reverse(rs.begin(),rs.end());  
        i=myf(s,rs);  
        printf("%d/n",n-c[n][n]);  
    }  
    return 0;  
} 
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
short c[5001][5001];
int n;
int myf(string s1,string s2)
{
 int i,j;
 for(i=0;i<=n;++i)
  c[i][0]=0;
 for(i=0;i<=n;++i)
  c[0][i]=0;
 for(i=1;i<=n;++i)
  for(j=1;j<=n;++j)
  {
   if(s1[i-1]==s2[j-1])
    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
   if(s1[i-1]!=s2[j-1])
   {
     if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
      c[i][j]=c[i-1][j];
     else
      c[i][j]=c[i][j-1];
   }
  }
   return 0;
}
int main()
{
 string s;
 int i;
 while(cin>>n)
 {
  cin>>s;
  string rs(s);
  for(i=0;i<5001;++i)
   for(int j=0;j<5001;++j)
    c[i][j]=0;
  reverse(rs.begin(),rs.end());
  i=myf(s,rs);
  printf("%d/n",n-c[n][n]);
 }
 return 0;
}

 

 

poj 1458 Common Subsequence

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1458

 

#include<iostream>  
#include<string>  
using namespace std;  
const int MAX(500);  
int c[MAX][MAX];  
int LCS(string s1,string s2)  
{  
    int i,j;  
    int L1=s1.size();  
    int L2=s2.size();  
    for(i=0;i<L1;++i)  
        c[i][0]=0;  
    for(j=0;j<L2;++j)  
        c[0][j]=0;  
    for(i=0;i<L1;++i)  
        for(j=0;j<L2;++j)  
        {  
            if(s1[i]==s2[j])  
            {  
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;  
            }  
            else 
            {  
                    if(c[i][j-1]>c[i-1][j])  
                        c[i][j]=c[i][j-1];  
                    else 
                        c[i][j]=c[i-1][j];  
            }  
        }  
        return c[L1-1][L2-1];  
}  
 
int main()  
{  
    string s1,s2;  
    while(cin>>s1>>s2)  
    {  
        printf("%d/n",LCS(s1,s2));  
    }  
    return 0;  
} 
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int MAX(500);
int c[MAX][MAX];
int LCS(string s1,string s2)
{
 int i,j;
 int L1=s1.size();
 int L2=s2.size();
 for(i=0;i<L1;++i)
  c[i][0]=0;
 for(j=0;j<L2;++j)
  c[0][j]=0;
 for(i=0;i<L1;++i)
  for(j=0;j<L2;++j)
  {
   if(s1[i]==s2[j])
   {
     c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
   }
   else
   {
     if(c[i][j-1]>c[i-1][j])
      c[i][j]=c[i][j-1];
     else
      c[i][j]=c[i-1][j];
   }
  }
  return c[L1-1][L2-1];
}

int main()
{
 string s1,s2;
 while(cin>>s1>>s2)
 {
  printf("%d/n",LCS(s1,s2));
 }
 return 0;
}
 

 

poj 2192:Zipper

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2192

#include<iostream>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
 
char s1[210],s2[210],s[410];  
bool dp[210][210];  
int len1,len2,len;  
 
int dfs(int i,int j,int k)  
{  
    if(dp[i][j]!=0)  
        return dp[i][j];  
    if(s2[j]!=s[k]&&s1[i]!=s[k])  
        return 0;  
    if(k>=len)  
        return 1;  
    if(i<len1&&s1[i]==s[k])  
    {  
        if(dfs(i+1,j,k+1))  
            return dp[i][j]=1;  
    }  
    if(j<len2&&s2[j]==s[k])  
    {  
            if(dfs(i,j+1,k+1))  
                return dp[i][j]=1;  
    }  
    return dp[i][j]=0;  
}  
 
int main()  
{  
    int cas;  
    int t;  
    scanf("%d",&t);  
    for(cas=1;cas<=t;++cas)  
    {  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        scanf(" %s %s %s",s1,s2,s);  
        len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),len=strlen(s);  
        if(s[len-1]!=s1[len1-1]&&s[len-1]!=s2[len2-1]||len!=len1+len2)  
        {  
                printf("Data set %d: no/n",cas);  
                continue;  
        }  
        if(dfs(0,0,0))  
            printf("Data set %d: yes/n",cas);  
        else 
            printf("Data set %d: no/n",cas);  
        //printf("%s %s %s/n",s1,s2,s);  
    }  
    return 0;  
} 
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

char s1[210],s2[210],s[410];
bool dp[210][210];
int len1,len2,len;

int dfs(int i,int j,int k)
{
 if(dp[i][j]!=0)
  return dp[i][j];
 if(s2[j]!=s[k]&&s1[i]!=s[k])
  return 0;
 if(k>=len)
  return 1;
 if(i<len1&&s1[i]==s[k])
 {
  if(dfs(i+1,j,k+1))
   return dp[i][j]=1;
 }
 if(j<len2&&s2[j]==s[k])
 {
   if(dfs(i,j+1,k+1))
    return dp[i][j]=1;
 }
 return dp[i][j]=0;
}

int main()
{
 int cas;
 int t;
 scanf("%d",&t);
 for(cas=1;cas<=t;++cas)
 {
  memset(dp,0,sizeof(dp));
  scanf(" %s %s %s",s1,s2,s);
  len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),len=strlen(s);
  if(s[len-1]!=s1[len1-1]&&s[len-1]!=s2[len2-1]||len!=len1+len2)
  {
    printf("Data set %d: no/n",cas);
    continue;
  }
  if(dfs(0,0,0))
   printf("Data set %d: yes/n",cas);
  else
   printf("Data set %d: no/n",cas);
  //printf("%s %s %s/n",s1,s2,s);
 }
 return 0;
}
 

 

以上是POJ上最LCS题目，可以拿来练手。

 

 

 

花店橱窗布置（IOI99）

poj : 1157 LITTLE SHOP OF FLOWERS

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1157

#include<iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
    int Map[110][110];  
    int dp[110][110];  
    int f,v,i,j,k;  
  scanf("%d%d",&f,&v);  
 
    for(i=1;i<=f;i++)  
     for(j=1;j<=v;j++)  
       scanf("%d",&Map[i][j]);  
   for(i=0;i<110;i++)  
     for(j=0;j<110;j++)  
       dp[i][j]=f*(-50);  
   for(i=1;i<=v;i++)  
     dp[1][i]=Map[1][i];  
    for(i=2;i<=f;i++)  
     for(j=i;j<=v;j++)  
     {  
                  for(k=i-1;k<j;k++)  
                  {  
                                  if(dp[i-1][k]+Map[i][j]>dp[i][j])  
                                    dp[i][j]=dp[i-1][k]+Map[i][j];  
                  }  
       
     }  
     k=dp[f][f];  
     for(i=f+1;i<=v;i++)  
         if(dp[f][i]>k)  
                    k=dp[f][i];  
    printf("%d/n",k);  
     system("pause");  
     return 0;  
}    
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int Map[110][110];
    int dp[110][110];
    int f,v,i,j,k;
  scanf("%d%d",&f,&v);

    for(i=1;i<=f;i++)
     for(j=1;j<=v;j++)
       scanf("%d",&Map[i][j]);
   for(i=0;i<110;i++)
     for(j=0;j<110;j++)
       dp[i][j]=f*(-50);
   for(i=1;i<=v;i++)
     dp[1][i]=Map[1][i];
    for(i=2;i<=f;i++)
     for(j=i;j<=v;j++)
     {
                  for(k=i-1;k<j;k++)
                  {
                                  if(dp[i-1][k]+Map[i][j]>dp[i][j])
                                    dp[i][j]=dp[i-1][k]+Map[i][j];
                  }
    
     }
     k=dp[f][f];
     for(i=f+1;i<=v;i++)
         if(dp[f][i]>k)
                    k=dp[f][i];
    printf("%d/n",k);
     system("pause");
     return 0;
}  
 

 

 

总结：1：排序可以使得有些题转换为DP去做。

           2：DP的状态想好了一定要去验证最优子问题和无后性。