关于高精度

关于高精度

                                                                                                  作者：焦祺         08-11-8

 

所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……）范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。

高精度的特征使我们在运用上一般会借助函数模板，不过在有的情况是需要我们更改的，所以高精度的计算还是值得我们深入研究。

 

高精度计算的一般分类：

l  高精度加法

l  高精度减法

l  高精度乘法（阶乘）

l  高精度除法（求余）

l  高精度数比较

 

高精度加法计算原理：

观察人工计算的方法：竖式加法

       223

+     996

-----------

         9       3+6=9

        1          2+9=11,当前位1,进位1

       2            2+9+1=12,当前位2,进位1

  1               进位的1

-----------

   1219      

 

 

算法框架：

A为AN位数，B为BN位数，结果存到C

N=AN>=BN?AN:BN;//求得两数的高位

for(从个位开始 TO 两数最高位N)

{

        C的第i位 = A的第i位 + B的第i位

        进位位 = C第i位 / 10

        当前位的值 = C第i位 %10

}

 

自编高精度加法函数模板：

 

/** @函数名 : add * @brief : 高精度加法计算* @return : void * @param : char ha[]* @param : char hb[] * @param : char answer[]* @remark : 结果返回到answer[] */#define M 500void add(char ha[],char hb[],char answer[]){int a[M],b[M],c[M];int la,lb,len,i;memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));la=strlen(ha);lb=strlen(hb); //求串长len = la>=lb?la:lb; //求两个串长的最长者for(i=0; i<la; i++) //将字符串a1逆序存到整型数组aa[i] = ha[la-i-1]-'0';for(i=0; i<lb; i++) //将字符串b1逆序存到整型数组bb[i] = hb[lb-i-1]-'0';for(i=0; i<len ;i++) //数字处理{c[i] += a[i]+b[i]; //处理a+bc[i+1] += c[i]/10; //处理进位数c[i] = c[i]%10; //处理原位数}// outputadd(c,len); //直接输出结果if (c[len] == 0)len--;for (i=0; i<=len; i++)answer[i] = c[len-i]+'0'; //把结果存到answer[]里answer[i] = ‘/0’;}

 

 

加法输出函数：

 

/*** @函数名 : output * @brief : 高精度加法专用输出* @return : void * @param : int res[] 输出的结果* @param : int len 结果的长度 * @remark : 注意第一位是否为0,len包含前导零可能*/void outputadd(int res[],int len){int i;for(i=len;i>=0;i--){if (res[i] == 0 && i==len){continue;}printf("%d",res[i]);}printf("/n");} 

 

高精度加法计算的时间效率提高方法：

 

在运用中，加法的高精计算算是比较简单，用起来也比较那灵活多变一点，在简单的题目中可以用二维数组计算打表。这样不用每次都要去调用高精度加法函数，从而可以提高实战中的时间效率。

 

如：HDOJ1715 ( 大菲波数 )

 

#include<iostream>#include<string.h>using namespace std;int a[1005][220]; int main(){ int j,i,k,l,t,n,m,flag; memset(a,0,sizeof(a)); a[1][0] = 1; a[2][0] = 1; for(i=3;i<=1000;i++) for(j=0;j<220;j++) { a[i][j] += a[i-1][j]+a[i-2][j]; // if(a[i][j] > 9) { a[i][j] = a[i][j] % 10; //进位 a[i][j+1]+=1; } } //----------------------------------------------------------------- scanf("%d",&n) != EOF; while(n--) { scanf("%d",&m); //m为要求位 //----------------------------output: for(j=220-1 ; j>=0 ;j--) //找出最高位 if(a[m][j] != 0) { flag = j; break; } for(j=flag ;j>=0;j--) printf("%d",a[m][j]); printf("/n"); } return 0;}  

 

以上的方法可以较好的解决时间效率的问题，但在有些运用中，空间效率却成为考点，由于计算高精度常用INT数组，所以优化时就要在数组上下功夫了。

如：HDOJ1250 ( Hat's Fibonacci )

 

#include<iostream>using namespace std;int num[7038][260]={0};int main(){ int i,j,n; num[1][0]=1; num[2][0]=1; num[3][0]=1; num[4][0]=1; for(i=5;i<7039;i++) { for(j=0;j<260;j++) num[i][j]=num[i-1][j]+num[i-2][j]+num[i-3][j]+num[i-4][j];//公式 for(j=0;j<259;j++) if(num[i][j]>100000000) { num[i][j+1]+=num[i][j]/100000000; num[i][j]%=100000000; } } while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(i=259;i>0;i--) if(num[n][i]!=0) break;printf("%d",num[n][i]);for(j=i-1;j>=0;j--)printf("%08d",num[n][j]); //上面有８个０，注意这里的输出控制printf("/n"); } return 0;}

 

高精度减法计算原理：

 

竖式减法：

       927

-      896

-----------

         1        7-6=1

        3          12-9=3,借位12

       0            (9-1)-8=0

-----------

         31

 

注意：

注意减法的特性：借位
不要忽略连续借位！
借位前被借位是0的情况
注意可能出现负数！
前导零处理
 

 

 

 

算法框架：

 

for(从个位开始 TO 两数最高位N)

{

              if(a的第i位小于b的第i位)     

              {//那么需要借位

                     借位位减1

                     当前位加10

              }

       a第i位和b第i位的差存入a;

}

 

自编高精度减法函数模板：

 

/** * @函数名 : subtract * @brief : 高精度减法 * @return : void * @param : char ha[] 被减数 * @param : char hb[] 减数 * @param : char answer[] 差 * @remark : 结果返回到answer[]里*/#define M 500void subtract(char ha[],char hb[],char answer[]) { int a[M],b[M]; int la,lb,len,i; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); la=strlen(ha);lb=strlen(hb); //求串长 len = la>=lb?la:lb; //求两个串长的最长者 for(i=0; i<la; i++) //将字符串ha逆序存到整型数组a a[i] = ha[la-i-1]-'0'; for(i=0; i<lb; i++) //将字符串hb逆序存到整型数组b b[i] = hb[lb-i-1]-'0'; if(compare(a,la,b,lb)) //如果是正数 { for(i=0;i<la;i++) //处理高精度减法 { if(a[i] < b[i]) { a[i+1]--; //借位 a[i]+=10; //借位后处理当前位加10 } a[i] = a[i] - b[i]; //处理后存至a中 } while(!a[la-1]) //去掉前导零 { la--; if(!la) //如果全是零，则只输出一个零 { answer[0] = '0'; answer[1] = '/0'; return ; } } for(i=0; i<la; i++) //从非零位开始输出 answer[i] = a[la-i-1] + '0'; } else //如果是负数 { for(i=0;i<lb;i++) //处理高精度减法 { if(b[i] < a[i]) { b[i+1]--; //借位 b[i]+=10; //借位后处理当前位加10 } b[i] = b[i] - a[i]; //处理后存至b中 } while(!b[lb-1]) { lb--; if(!lb) { answer[0] = '0'; answer[1] = '/0'; return ; } } answer[0] = '-'; for(i=1; i<lb+1; i++) //从非零位开始输出 answer[i] = b[lb-i] + '0'; }}  

 

 

比较函数：

 

/*** @函数名 : compare * @brief : 判断哪个数大* @return : bool * @remark : 正数返回1，负数返回0*/bool compare(int a[],int la,int b[],int lb){int i;if(la>lb) //被减数位数 大于 减数位数，差一定是正数{return 1;}else if(la<lb) //被减数位数 小于 减数位数，差一定是负数{return 0;}else //la == lb 结果可能是正也可能是负{for (i=0;i<la;i++) //从最高位开始判断,看哪个最高位先大{if(a[i] > b[i]){return 1;}else if (a[i] < b[i]){return 0;}}if(i == la){return 1;}}}

高精度乘法计算原理：

 

竖式乘法：

1. 大数乘小数，比如12345*9=?

 1 2 3 4 5

*          9

--------------

           45           5*9=45

    36                4*9=36

  27                    3*9=27

18                        2*9=18

+     9                          1*9=9

--------------

1 1 1 1 0 5

 

2. 大数乘大数，比如12345*12345=?

12345*12345=12345*5+

               12345*4*10+

               12345*3*100+

               12345*2*1000+

               12345*1*10000

问题转化为若干个大数乘小数之和

 

算法框架

用一个i,j二重循环{{res[i+j]+=b[i]*a[j];}}

//不管三七二十一先把结果算出来

//然后我们再来考虑进位：

for(……)

{

如果：res[i] >= 10

那么：

res[i+1] += res[i]/10; //进位位

res[i] %= 10;        //原始位

}

 

自编高精度乘法函数模板：

 

/*** @函数名 : multiply * @brief : 高精度乘法计算* @return : void * @param : char ha[]* @param : char hb[] * @param : char answer[]* @remark : 结果返回到answer[] */#define M 500void multiply(char ha[],char hb[],char answer[]){int i,j;int la; //被乘数位数int lb; //乘数位数int a[M+10]; //存被乘数int b[M+10]; //存乘数int res[2*M+10]; //存结果memset(answer,NULL,sizeof(answer));memset(res,0,sizeof(res));la = strlen(ha);lb = strlen(hb);for(i=0; i<la; i++) //将字符串a1逆序存到整型数组a a[i] = ha[la-i-1]-'0';for(i=0; i<lb; i++) //将字符串b1逆序存到整型数组b b[i] = hb[lb-i-1]-'0';for (i=0;i<lb;i++) //每次用b的一位，去和a的各位相乘{ for (j=0;j<la;j++) {res[i+j]+=b[i]*a[j]; }}for (i=0;i<M*2;i++) //处理进位{ if (res[i] >= 10) {res[i+1] += res[i]/10; //进位位res[i] %= 10; //原始位 }}//output();bool flag = 0;j=0;for(i=M*2; i>=0 ;i--){ if(flag) {answer[j] = res[i] + '0';j++; } else if (res[i]) //不存入前导零 {answer[j] = res[i] + '0';j++;flag = 1; }}if (!flag){ answer[0] = '0'; j++;}answer[j] = '/0';} 

 

乘法输出函数：

 

/*** @函数名 : output * @brief : 输出积* @return : void * @remark : 注意前导零*/void output(int res[]){bool flag = 0;int i;for(i=M*2; i>=0 ;i--){ if(flag) {printf("%d",res[i]); } else if (res[i]) //不输出前导零 {printf("%d",res[i]);flag = 1; }}if (!flag){ printf("0");}printf("/n");} 

 

 

高精度除法计算原理：

 

竖式除法----用多次的减法来实现!

             36

12345 √ 452678

         37035      12345*3=37035

          8232        45267-37035=8232

          82328      下一位再次减法

          74070      12345*6=74070

           8258      82328-74070=8258 余数

 

高精度除以低精度算法框架

d = 0

for(从除数的最高位 to 除数的个位)

{

       d += a的第i位

       计算d和除数的商 存入C数组中

       计算d和除数的余数 存入d中

     处理该位的余数便是下一位的十位

}

 

自编高精度除以低精度函数模板：

 

/*** @函数名 : divide * @brief : 高精度除以低精度函数模板* @return : int * @param : char ha[]* @param : int b * @param : char answer[]* @remark : 结果返回到answer[] */int divide(char ha[],int b,char answer[]){int i,la,j;int d; //余数int c[N]={0}; //商int a[N]={0}; //被除数if (b == 0){ return -1;}la=strlen(ha);memset(a,0,sizeof(a));memset(answer,NULL,sizeof(answer));for(i=0;i<la;i++) a[i] = ha[la-i-1]-'0';d=0;for(i=la-1;i>=0;i--){ d = d*10 + a[i]; //取a的最高位开始 c[i] = d/b; //把商一位一位存入C中 d=d%b; //该位的余数便是下一位的十位数} while(c[la-1]==0 && la>1) la--;// 输出结果// for(i=la-1; i>=0; i--)// printf("%d",c[i]);j=0;for (i=la-1;i>=0;i--){ answer[j] = c[i]+'0'; j++;}answer[j] = '/0'; return d;} 

 

 

高精度除以高精度算法框架

d=0;//余数

for(从除数的最高位 to 除数的个位)

{

     d自乘10     //高精度乘10

     被除数的第i位加入d中

     while(d大于除数)

    {

          d和除数的差存在d中

          商++;

     }

}

 

高精度除法函数模板：

 

#define N 1001int compare(char * c1,int s1,int e1,char *c2,int s2,int e2)/*大整数比较大小*/{while(c1[s1]=='0'&&s1<e1)s1++;while(c2[s2]=='0'&&s2<e2)s2++;if(e1-s1>e2-s2)return 1;if(e1-s1<e2-s2)return -1;int i1;int f11=0;for(i1=0;i1<=e1-s1;i1++){ if(c1[s1+i1]>c2[s2+i1]){f11=1;break;} if(c2[s2+i1]>c1[s1+i1])break;}if(i1>e1-s1)return 0;if(f11)return 1;return -1;}void sub(char *c1,int l1,char *c2,int n,int l)/*两个大整数相减,结果放在c1中*/{int fig=0;if(l1>l){ fig=1; int i5; for(i5=l;i5>0;i5--)c2[i5]=c2[i5-1]; c2[0]='0';l++;}int jw=0;int i4;char tc[N];for(i4=l-1;i4>=0;i4--){ tc[i4]=((c2[i4]-48)*n+jw)%10+48; jw=((c2[i4]-48)*n+jw)/10;}jw=0;for(i4=l-1;i4>=0;i4--){ int ttt=jw; if(c1[i4]-tc[i4]-jw>=0) {tc[i4]=c1[i4]-tc[i4]-jw+48;jw=0; } else {jw=(tc[i4]-c1[i4]+jw);if(jw%10==0)jw/=10;else jw=jw/10+1;tc[i4]=jw*10+c1[i4]-tc[i4]-ttt+48; }}if(fig){ for(i4=0;i4<l-1;i4++)c2[i4]=c2[i4+1]; l--; c2[l]='/0';}tc[l1]='/0';for(i4=0;i4<=l1;i4++) c1[i4]=tc[i4];} void high_precise_division(char *c1,char *c2){int len1,len2;len1=strlen(c1);len2=strlen(c2);int i,j,k,ip;i=0;while(c1[i]=='0'&&i<len1-1)i++;for(j=0;i<len1;j++,i++)c1[j]=c1[i];len1=j;c1[j]='/0';i=0;while(c2[i]=='0'&&i<len2-1)i++;for(j=0;i<len2;j++,i++)c2[j]=c2[i];len2=j;c2[j]='/0';/*while(c1[0]=='0'&&i<len1-1) { for(k=0;k<len1-1;k++) c1[k]=c1[k+1]; len1--;}去掉前面的0*//*while(c2[0]=='0'&&j<len2-1) { for(k=0;k<len2-1;k++) c2[k]=c2[k+1]; len2--;}去掉前面的0*/c1[len1]='/0';c2[len2]='/0';if(strcmp(c2,"0")==0)return ;/*当除数为0时*/if(strcmp(c1,"0")==0){strcpy(c2,"0");return ;}/*当被除数为0时*/if(len1<len2||len1==len2&&compare(c1,0,len1-1,c2,0,len2-1)<0){ strcpy(c2,c1); c1[0]='0';c1[1]='/0'; return ;}else{ ip=0; char product[N],*pr;/*部分积*/ pr=product; for(ip=0;ip<len2-1;ip++)pr[ip]=c1[ip]; for(i=0;i<=len1-len2;i++) {pr[ip++]=c1[len2-1+i];if(ip>=len2 && compare(pr,0,ip-1,c2,0,len2-1)>=0){char tc[N];for(j=1;j<=9;j++){for(k=0;k<ip;k++)tc[k]=pr[k]; sub(tc,ip,c2,j,len2);/*pr-c2*j结果放在pr中*/for(k=0;tc[k]!='/0';k++);if(compare(tc,0,k-1,c2,0,len2-1)<0)break;}strcpy(pr,tc);ip=strlen(pr);c1[i]=j+48;while(pr[0]=='0'&&ip>1){for(j=0;j<ip-1;j++)pr[j]=pr[j+1];ip--;}if(ip==1&&pr[0]=='0')ip--;}else c1[i]='0'; } while(c1[0]=='0') {for(j=0;j<i-1;j++)c1[j]=c1[j+1];i--; } c1[i]='/0'; if(ip==0){pr[0]='0';pr[1]='/0';ip=1;} else {while(pr[0]=='0'&&ip>1){for(j=0;j<ip-1;j++)pr[j]=pr[j+1];ip--;} } for(j=0;j<ip;j++)c2[j]=pr[j]; c2[ip]='/0'; return ;}}int main(){int i,j;char c1[N],c2[N];/*整数高精度除法*/while(scanf("%s %s",c1,c2)!=EOF){ char *pc1,*pc2; pc1=c1;pc2=c2; c1[strlen(c1)]='/0'; c2[strlen(c2)]='/0'; high_precise_division(pc1,pc2);/*结果放在pC1中，余数放在pC2中*/ printf(" 商:%s/n余数:%s/n",pc1,pc2);}return 0;}  

 

高精度阶乘函数模板：

 

语法：int result=factorial(int n);

参数：

n：n 的阶乘

返回值：阶乘结果的位数

注意：

本程序直接输出n!的结果，需要返回结果请保留long a[]

需要 math.h

源程序：

int factorial(int n){long a[10000];int i,j,l,c,m=0,w; a[0]=1; for(i=1;i<=n;i++){ c=0; for(j=0;j<=m;j++){ a[j]=a[j]*i+c; c=a[j]/10000; a[j]=a[j]%10000; } if(c>0) {m++;a[m]=c;} } w=m*4+log10((double)a[m])+1;printf("%ld",a[m]); for(i=m-1;i>=0;i--) printf("%4.4ld",a[i]);return w;}  

 

 

 

PKU上关于高精度的题目汇集：

1001（高精度乘法） 2413(高精度加法，还有二分查找)

1220, 1405, 1503, 1131, 2305,2325,2389,1604,1047

1504 1517 1519 1547 1552 1563（考虑仔细一点，还要注意精度）

2381 2385 2393 2394 2395 2413（高精度基础） //2418 2419

 

 

参考文献：

 

《程序设计基础第2版》吴文虎 清华大学出版社

《ACM程序设计培训教程》      中国铁道出版社