C语言算法速查手册

 

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第1章　绪论　1
1.1　程序设计语言概述　1
1.1.1　机器语言　1
1.1.2　汇编语言　2
1.1.3　高级语言　2
1.1.4　C语言　3
1.2　C语言的优点和缺点　4
1.2.1　C语言的优点　4
1.2.2　C语言的缺点　6
1.3　算法概述　7
1.3.1　算法的基本特征　7
1.3.2　算法的复杂度　8
1.3.3　算法的准确性　10
1.3.4　算法的稳定性　14

第2章　复数运算　18
2.1　复数的四则运算　18
2.1.1　[算法1]　复数乘法　18
2.1.2　[算法2]　复数除法　20
2.1.3　【实例5】 复数的四则运算　22
2.2　复数的常用函数运算　23
2.2.1　[算法3]　复数的乘幂　23
2.2.2　[算法4]　复数的n次方根　25
2.2.3　[算法5]　复数指数　27
2.2.4　[算法6]　复数对数　29
2.2.5　[算法7]　复数正弦　30
2.2.6　[算法8]　复数余弦　32
2.2.7　【实例6】 复数的函数运算　34

第3章　多项式计算　37
3.1　多项式的表示方法　37
3.1.1　系数表示法　37
3.1.2　点表示法　38
3.1.3　[算法9]　系数表示转化为点表示　38
3.1.4　[算法10]　点表示转化为系数表示　42
3.1.5　【实例7】　系数表示法与点表示法的转化　46
3.2　多项式运算　47
3.2.1　[算法11]　复系数多项式相乘　47
3.2.2　[算法12]　实系数多项式相乘　50
3.2.3　[算法13]　复系数多项式相除　52
3.2.4　[算法14]　实系数多项式相除　54
3.2.5　【实例8】　复系数多项式的乘除法　56
3.2.6　【实例9】　实系数多项式的乘除法　57
3.3　多项式的求值　59
3.3.1　[算法15]　一元多项式求值　59
3.3.2　[算法16]　一元多项式多组求值　60
3.3.3　[算法17]　二元多项式求值　63
3.3.4　【实例10】　一元多项式求值　65
3.3.5　【实例11】　二元多项式求值　66

第4章　矩阵计算　68
4.1　矩阵相乘　68
4.1.1　[算法18]　实矩阵相乘　68
4.1.2　[算法19]　复矩阵相乘　70
4.1.3　【实例12】 实矩阵与复矩阵的乘法　72
4.2　矩阵的秩与行列式值　73
4.2.1　[算法20]　求矩阵的秩　73
4.2.2　[算法21]　求一般矩阵的行列式值　76
4.2.3　[算法22]　求对称正定矩阵的行列式值　80
4.2.4　【实例13】 求矩阵的秩和行列式值　82
4.3　矩阵求逆　84
4.3.1　[算法23]　求一般复矩阵的逆　84
4.3.2　[算法24]　求对称正定矩阵的逆　90
4.3.3　[算法25]　求托伯利兹矩阵逆的Trench方法　92
4.3.4　【实例14】 验证矩阵求逆算法　97
4.3.5　【实例15】 验证T矩阵求逆算法　99
4.4　矩阵分解与相似变换　102
4.4.1　[算法26]　实对称矩阵的LDL分解　102
4.4.2　[算法27]　对称正定实矩阵的Cholesky分解　104
4.4.3　[算法28]　一般实矩阵的全选主元LU分解　107
4.4.4　[算法29]　一般实矩阵的QR分解　112
4.4.5　[算法30]　对称实矩阵相似变换为对称三对角阵　116
4.4.6　[算法31]　一般实矩阵相似变换为上Hessen-Burg矩阵　121
4.4.7　【实例16】 对一般实矩阵进行QR分解　126
4.4.8　【实例17】 对称矩阵的相似变换　127
4.4.9　【实例18】 一般实矩阵相似变换　129
4.5　矩阵特征值的计算　130
4.5.1　[算法32]　求上Hessen-Burg矩阵全部特征值的QR方法　130
4.5.2　[算法33]　求对称三对角阵的全部特征值　137
4.5.3　[算法34]　求对称矩阵特征值的雅可比法　143
4.5.4　[算法35]　求对称矩阵特征值的雅可比过关法　147
4.5.5　【实例19】 求上Hessen-Burg矩阵特征值　151
4.5.6　【实例20】 分别用两种雅克比法求对称矩阵特征值　152

第5章　线性代数方程组的求解　154
5.1　高斯消去法　154
5.1.1　[算法36]　求解复系数方程组的全选主元高斯消去法　155
5.1.2　[算法37]　求解实系数方程组的全选主元高斯消去法　160
5.1.3　[算法38]　求解复系数方程组的全选主元高斯-约当消去法　163
5.1.4　[算法39]　求解实系数方程组的全选主元高斯-约当消去法　168
5.1.5　[算法40]　求解大型稀疏系数矩阵方程组的高斯-约当消去法　171
5.1.6　[算法41]　求解三对角线方程组的追赶法　174
5.1.7　[算法42]　求解带型方程组的方法　176
5.1.8　【实例21】 解线性实系数方程组　179
5.1.9　【实例22】 解线性复系数方程组　180
5.1.10　【实例23】 解三对角线方程组　182
5.2　矩阵分解法　184
5.2.1　[算法43]　求解对称方程组的LDL分解法　184
5.2.2　[算法44]　求解对称正定方程组的Cholesky分解法　186
5.2.3　[算法45]　求解线性最小二乘问题的QR分解法　188
5.2.4　【实例24】 求解对称正定方程组　191
5.2.5　【实例25】 求解线性最小二乘问题　192
5.3　迭代方法　193
5.3.1　[算法46]　病态方程组的求解　193
5.3.2　[算法47]　雅克比迭代法　197
5.3.3　[算法48]　高斯-塞德尔迭代法　200
5.3.4　[算法49]　超松弛方法　203
5.3.5　[算法50]　求解对称正定方程组的共轭梯度方法　205
5.3.6　[算法51]　求解托伯利兹方程组的列文逊方法　209
5.3.7　【实例26】 解病态方程组　214
5.3.8　【实例27】 用迭代法解方程组　215
5.3.9　【实例28】 求解托伯利兹方程组　217

第6章　非线性方程与方程组的求解　219
6.1　非线性方程求根的基本过程　219
6.1.1　确定非线性方程实根的初始近似值或根的所在区间　219
6.1.2　求非线性方程根的精确解　221
6.2　求非线性方程一个实根的方法　221
6.2.1　[算法52]　对分法　221
6.2.2　[算法53]　牛顿法　223
6.2.3　[算法54]　插值法　226
6.2.4　[算法55]　埃特金迭代法　229
6.2.5　【实例29】 用对分法求非线性方程组的实根　232
6.2.6　【实例30】 用牛顿法求非线性方程组的实根　233
6.2.7　【实例31】 用插值法求非线性方程组的实根　235
6.2.8　【实例32】 用埃特金迭代法求非线性方程组的实根　237
6.3　求实系数多项式方程全部根的方法　238
6.3.1　[算法56]　QR方法　238
6.3.2　【实例33】　用QR方法求解多项式的全部根　240
6.4　求非线性方程组一组实根的方法　241
6.4.1　[算法57]　梯度法　241
6.4.2　[算法58]　拟牛顿法　244
6.4.3　【实例34】 用梯度法计算非线性方程组的一组实根　250
6.4.4　【实例35】 用拟牛顿法计算非线性方程组的一组实根　252

第7章　代数插值法　254
7.1　拉格朗日插值法　254
7.1.1　[算法59]　线性插值　255
7.1.2　[算法60]　二次抛物线插值　256
7.1.3　[算法61]　全区间插值　259
7.1.4　【实例36】 拉格朗日插值　262
7.2　埃尔米特插值　263
7.2.1　[算法62]　埃尔米特不等距插值　263
7.2.2　[算法63]　埃尔米特等距插值　267
7.2.3　【实例37】 埃尔米特插值法　270
7.3　埃特金逐步插值　271
7.3.1　[算法64]　埃特金不等距插值　272
7.3.2　[算法65]　埃特金等距插值　275
7.3.3　【实例38】 埃特金插值　278
7.4　光滑插值　279
7.4.1　[算法66]　光滑不等距插值　279
7.4.2　[算法67]　光滑等距插值　283
7.4.3　【实例39】 光滑插值　286
7.5　三次样条插值　287
7.5.1　[算法68]　第一类边界条件的三次样条函数插值　287
7.5.2　[算法69]　第二类边界条件的三次样条函数插值　292
7.5.3　[算法70]　第三类边界条件的三次样条函数插值　296
7.5.4　【实例40】 样条插值法　301
7.6　连分式插值　303
7.6.1　[算法71]　连分式插值　304
7.6.2　【实例41】 验证连分式插值的函数　308

第8章　数值积分法　309
8.1　变步长求积法　310
8.1.1　[算法72]　变步长梯形求积法　310
8.1.2　[算法73]　自适应梯形求积法　313
8.1.3　[算法74]　变步长辛卜生求积法　316
8.1.4　[算法75]　变步长辛卜生二重积分方法　318
8.1.5　[算法76]　龙贝格积分　322
8.1.6　【实例42】 变步长积分法进行一重积分　325
8.1.7　【实例43】 变步长辛卜生积分法进行二重积分　326
8.2　高斯求积法　328
8.2.1　[算法77]　勒让德-高斯求积法　328
8.2.2　[算法78]　切比雪夫求积法　331
8.2.3　[算法79]　拉盖尔-高斯求积法　334
8.2.4　[算法80]　埃尔米特-高斯求积法　336
8.2.5　[算法81]　自适应高斯求积方法　337
8.2.6　【实例44】 有限区间高斯求积法　342
8.2.7　【实例45】 半无限区间内高斯求积法　343
8.2.8　【实例46】 无限区间内高斯求积法　345
8.3　连分式法　346
8.3.1　[算法82]　计算一重积分的连分式方法　346
8.3.2　[算法83]　计算二重积分的连分式方法　350
8.3.3　【实例47】 连分式法进行一重积分　354
8.3.4　【实例48】 连分式法进行二重积分　355
8.4　蒙特卡洛法　356
8.4.1　[算法84]　蒙特卡洛法进行一重积分　356
8.4.2　[算法85]　蒙特卡洛法进行二重积分　358
8.4.3　【实例49】 一重积分的蒙特卡洛法　360
8.4.4　【实例50】 二重积分的蒙特卡洛法　361

第9章　常微分方程(组)初值问题的求解　363
9.1　欧拉方法　364
9.1.1　[算法86]　定步长欧拉方法　364
9.1.2　[算法87]　变步长欧拉方法　366
9.1.3　[算法88]　改进的欧拉方法　370
9.1.4　【实例51】 欧拉方法求常微分方程数值解　372
9.2　龙格-库塔方法　376
9.2.1　[算法89]　定步长龙格-库塔方法　376
9.2.2　[算法90]　变步长龙格-库塔方法　379
9.2.3　[算法91]　变步长基尔方法　383
9.2.4　【实例52】 龙格-库塔方法求常微分方程的初值问题　386
9.3　线性多步法　390
9.3.1　[算法92]　阿当姆斯预报校正法　390
9.3.2　[算法93]　哈明方法　394
9.3.3　[算法94]　全区间积分的双边法　399
9.3.4　【实例53】 线性多步法求常微分方程组初值问题　401

第10章　拟合与逼近　405
10.1　一元多项式拟合　405
10.1.1　[算法95]　最小二乘拟合　405
10.1.2　[算法96]　最佳一致逼近的里米兹方法　412
10.1.3　【实例54】 一元多项式拟合　417
10.2　矩形区域曲面拟合　419
10.2.1　[算法97]　矩形区域最小二乘曲面拟合　419
10.2.2　【实例55】 二元多项式拟合　428

第11章　特殊函数　430
11.1　连分式级数和指数积分　430
11.1.1　[算法98]　连分式级数求值　430
11.1.2　[算法99]　指数积分　433
11.1.3　【实例56】 连分式级数求值　436
11.1.4　【实例57】 指数积分求值　438
11.2　伽马函数　439
11.2.1　[算法100]　伽马函数　439
11.2.2　[算法101]　贝塔函数　441
11.2.3　[算法102]　阶乘　442
11.2.4　【实例58】　伽马函数和贝塔函数求值　443
11.2.5　【实例59】　阶乘求值　444
11.3　不完全伽马函数　445
11.3.1　[算法103]　不完全伽马函数　445
11.3.2　[算法104]　误差函数　448
11.3.3　[算法105]　卡方分布函数　450
11.3.4　【实例60】　不完全伽马函数求值　451
11.3.5　【实例61】　误差函数求值　452
11.3.6　【实例62】　卡方分布函数求值　453
11.4　不完全贝塔函数　454
11.4.1　[算法106]　不完全贝塔函数　454
11.4.2　[算法107]　学生分布函数　457
11.4.3　[算法108]　累积二项式分布函数　458
11.4.4　【实例63】　不完全贝塔函数求值　459
11.5　贝塞尔函数　461
11.5.1　[算法109]　第一类整数阶贝塞尔函数　461
11.5.2　[算法110]　第二类整数阶贝塞尔函数　466
11.5.3　[算法111]　变型第一类整数阶贝塞尔函数　469
11.5.4　[算法112]　变型第二类整数阶贝塞尔函数　473
11.5.5　【实例64】　贝塞尔函数求值　476
11.5.6　【实例65】　变型贝塞尔函数求值　477
11.6　Carlson椭圆积分　479
11.6.1　[算法113]　第一类椭圆积分　479
11.6.2　[算法114]　第一类椭圆积分的退化形式　481
11.6.3　[算法115]　第二类椭圆积分　483
11.6.4　[算法116]　第三类椭圆积分　486
11.6.5　【实例66】　第一类勒让德椭圆函数积分求值　490
11.6.6　【实例67】　第二类勒让德椭圆函数积分求值　492

第12章　极值问题　494
12.1　一维极值求解方法　494
12.1.1　[算法117]　确定极小值点所在的区间　494
12.1.2　[算法118]　一维黄金分割搜索　499
12.1.3　[算法119]　一维Brent方法　502
12.1.4　[算法120]　使用一阶导数的Brent方法　506
12.1.5　【实例68】　使用黄金分割搜索法求极值　511
12.1.6　【实例69】　使用Brent法求极值　513
12.1.7　【实例70】　使用带导数的Brent法求极值　515
12.2　多元函数求极值　517
12.2.1　[算法121]　不需要导数的一维搜索　517
12.2.2　[算法122]　需要导数的一维搜索　519
12.2.3　[算法123]　Powell方法　522
12.2.4　[算法124]　共轭梯度法　525
12.2.5　[算法125]　准牛顿法　531
12.2.6　【实例71】　验证不使用导数的一维搜索　536
12.2.7　【实例72】　用Powell算法求极值　537
12.2.8　【实例73】　用共轭梯度法求极值　539
12.2.9　【实例74】　用准牛顿法求极值　540
12.3　单纯形法　542
12.3.1　[算法126]　求无约束条件下n维极值的单纯形法　542
12.3.2　[算法127]　求有约束条件下n维极值的单纯形法　548
12.3.3　[算法128]　解线性规划问题的单纯形法　556
12.3.4　【实例75】　用单纯形法求无约束条件下N维的极值　568
12.3.5　【实例76】　用单纯形法求有约束条件下N维的极值　569
12.3.6　【实例77】　求解线性规划问题　571

第13章　随机数产生与统计描述　574
13.1　均匀分布随机序列　574
13.1.1　[算法129]　产生0到1之间均匀分布的一个随机数　574
13.1.2　[算法130]　产生0到1之间均匀分布的随机数序列　576
13.1.3　[算法131]　产生任意区间内均匀分布的一个随机整数　577
13.1.4　[算法132]　产生任意区间内均匀分布的随机整数序列　578
13.1.5　【实例78】　产生0到1之间均匀分布的随机数序列　580
13.1.6　【实例79】　产生任意区间内均匀分布的随机整数序列　581
13.2　正态分布随机序列　582
13.2.1　[算法133]　产生任意均值与方差的正态分布的一个随机数　582
13.2.2　[算法134]　产生任意均值与方差的正态分布的随机数序列　585
13.2.3　【实例80】　产生任意均值与方差的正态分布的一个随机数　587
13.2.4　【实例81】　产生任意均值与方差的正态分布的随机数序列　588
13.3　统计描述　589
13.3.1　[算法135]　分布的矩　589
13.3.2　[算法136]　方差相同时的t分布检验　591
13.3.3　[算法137]　方差不同时的t分布检验　594
13.3.4　[算法138]　方差的F检验　596
13.3.5　[算法139]　卡方检验　599
13.3.6　【实例82】　计算随机样本的矩　601
13.3.7　【实例83】　t分布检验　602
13.3.8　【实例84】　F分布检验　605
13.3.9　【实例85】　检验卡方检验的算法　607

第14章　查找　609
14.1　基本查找　609
14.1.1　[算法140]　有序数组的二分查找　609
14.1.2　[算法141]　无序数组同时查找最大和最小的元素　611
14.1.3　[算法142]　无序数组查找第M小的元素　613
14.1.4　【实例86】　基本查找　615
14.2　结构体和磁盘文件的查找　617
14.2.1　[算法143]　无序结构体数组的顺序查找　617
14.2.2　[算法144]　磁盘文件中记录的顺序查找　618
14.2.3　【实例87】　结构体数组和文件中的查找　619
14.3　哈希查找　622
14.3.1　[算法145]　字符串哈希函数　622
14.3.2　[算法146]　哈希函数　626
14.3.3　[算法147]　向哈希表中插入元素　628
14.3.4　[算法148]　在哈希表中查找元素　629
14.3.5　[算法149]　在哈希表中删除元素　631
14.3.6　【实例88】　构造哈希表并进行查找　632

第15章　排序　636
15.1　插入排序　636
15.1.1　[算法150]　直接插入排序　636
15.1.2　[算法151]　希尔排序　637
15.1.3　【实例89】　插入排序　639
15.2　交换排序　641
15.2.1　[算法152]　气泡排序　641
15.2.2　[算法153]　快速排序　642
15.2.3　【实例90】　交换排序　644
15.3　选择排序　646
15.3.1　[算法154]　直接选择排序　646
15.3.2　[算法155]　堆排序　647
15.3.3　【实例91】　选择排序　650
15.4　线性时间排序　651
15.4.1　[算法156]　计数排序　651
15.4.2　[算法157]　基数排序　653
15.4.3　【实例92】　线性时间排序　656
15.5　归并排序　657
15.5.1　[算法158]　二路归并排序　658
15.5.2　【实例93】　二路归并排序　660

第16章　数学变换与滤波　662
16.1　快速傅里叶变换　662
16.1.1　[算法159]　复数据快速傅里叶变换　662
16.1.2　[算法160]　复数据快速傅里叶逆变换　666
16.1.3　[算法161]　实数据快速傅里叶变换　669
16.1.4　【实例94】　验证傅里叶变换的函数　671
16.2　其他常用变换　674
16.2.1　[算法162]　快速沃尔什变换　674
16.2.2　[算法163]　快速哈达玛变换　678
16.2.3　[算法164]　快速余弦变换　682
16.2.4　【实例95】　验证沃尔什变换和哈达玛的函数　684
16.2.5　【实例96】　验证离散余弦变换的函数　687
16.3　平滑和滤波　688
16.3.1　[算法165]　五点三次平滑　689
16.3.2　[算法166]　α-β-γ滤波　690
16.3.3　【实例97】　验证五点三次平滑　692
16.3.4　【实例98】　验证α-β-γ滤波算法　693

 

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