散射矩阵、协方差矩阵

 

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散射矩阵、协方差矩阵

数学基础 2009-09-03 15:39:35 阅读180 评论0 字号：大中小

散射矩阵,又称S矩阵，是物理学中描述散射过程的一个主要观测量。

现代高能物理的发展，同其他物理学一样是理论和实验的互动，而这种互动主要的桥梁就是散射矩阵。

假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|Ψ>_in；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为|Ψ>_out。 入态到初态，相互作用可以用一个矩阵描述，记为S，那么就有：

|Ψ>_out＝S |Ψ>_in

这就是散射矩阵的定义。

散射矩阵直接与可观测的物理量相联系，但是我们在量子场论中处理的是场，两者如何联系？或者说如何从量子场论计算散射矩阵？我们还要利用一个LSZ约化规则，它联系了量子场论中的格林函数和可观测的散射矩阵。这使得理论能够预言实验。

 

协方差矩阵

在统计学与概率论中，协方差矩阵（或称共变异矩阵）是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，

并且μ_i 是其第i个元素的期望值, 即, μ_i = E(X_i)。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下协方差：

即：

矩阵中的第(i,j)个元素是X_i与X_j的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。

术语与符号分歧

协方差矩阵有不同的术语。有些统计学家，沿用了概率学家威廉·费勒的说法，把这个矩阵称之为随机向量X的方差（Variance of random vector X），这是从一维随机变量方差到高维随机向量的自然推广。另外一些则把它称为协方差矩阵（Covariance matrix），因为它是随机向量里头每个标量元素的协方差的矩阵。不幸的是，这两种术语带来了一定程度上的冲突：

随机向量X的方差（Variance of random vector X）定义有如下两种形式：

 

协方差矩阵（Covariance matrix）定义如下：

第一个记号可以在威廉·费勒的广受推崇的两册概率论及其应用的书中找到。两个术语除了记法之外并没有不同。

性质

与 满足下边的基本性质：

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 若 p = q，则有
8. 
9. 若 与 是独立的，则有
10. 

其中 与 是随机向量, 是随机向量, 是 向量, 与 是 矩阵。

尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。

复随机向量

均值为μ的复随机标量变量的方差定义如下（使用共轭复数）：

其中复数z的共轭记为z ^* 。

如果Z 是一个复列向量,则取其共轭转置，得到一个方阵:

其中Z ^* 为共轭转置, 它对于标量也成立，因为标量的转置还是标量。

估计

多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做矩阵的trace更好的原因。参见协方差矩阵的估计。

Covariance Matrix

Given sets of variates denoted , ..., , the first-order covariance matrix is defined by

where is the mean. Higher order matrices are given by

An individual matrix element is called the covariance of and .