计算机数据的二进制编码（整数）

世界上有两种人，懂和不懂二进制的。最近发现自己之前算是不懂的。

一、整数表示

      假设整数数据类型是W位，则写成二进制位x^→是[X_w-1,x_w-2,……x₀]。

1.    无符号整数

对于无符号整数没有符号位，所以上述二进制向量x^→所表示的无符号整数就是

               

例如W=4时，[1010]就是1*2³ +0*2² +1*2¹+0*2⁰=8+0+2+0=10

2.有符号数

当作为有符号数时，最高有效位Xw-1 称为符号位，解释为负权，

所表示的有符号数就是

例如W=4时，[1010]就是-1*2³ +0*2² +1*2¹+0*2⁰=-8+0+2+0=-6

2.1当Xw-1 为0时，表示为一个正数，与无符号整数相同。

2.2当Xw-1 为1时，表示为一个负数，因为这个负权值是-2^w-1 ，2^w-1的无符号表示就是（10……0）,1后面跟w-1个0，所以它的绝对值大于任意的组合，所以此时的B2Tw( x^→)一定是一个负数，

二、C中的整数转换

在c语言中，无符号数和有符号数的转换，原则上是基本的位表示保持不变。

这里之所以说是在C语言中，因为在翻译为汇编后，汇编语言则是纯粹的位操作，没有像C语言这样具有符号概念。

转换包括显示或者隐式转换，注意这里的“位表示”表示不变!!

例如int x=0xA，

unsigned int ux1=x；

unsigned int ux2= (unsigned in)x;

执行完成后 ux1 和ux2 均是0xA,

C中如果一个表达式包含有符号和无符号数，那么C会将有符号数强制转换为无符号数，这一点非常重要，

例如表达式-6<0U,返回值是0,因为这里会将这个表达式作为无符号处理，-1,是0xA，而作为无符号则是10。

三、扩展与截断

      1.扩展，

      分为零扩展和符号扩展。

      如2位的数字 (10）₂ 扩展成四位时，

      零扩展只是简单的在开头添加0，对于无符号数就是这样扩展为0010

      符号扩展则是在开头添加原来最高位的值，对于有符号数就是这样扩展的1110。

      例如i386 linux下c语言

      TYPE c=0xFF;

      int x=c;

      unsigned int ux=c;

当TYPE是char时，x、ux均为0xFFFFFFFF,汇编格式均使用了movsbl，

当TYPE是unsigned char时，x、ux均为0x000000FF，汇编格式均使用了movzbl

所以在 = 扩展时，gcc编译器根据等号右边操作数的属性，决定如何扩展存入左边操作数所在的存储器。

可以考虑TYPE是char时，unsigned int ux= (unsigned char)c;ux的值~~！

2.截断

截断则注意一个原则，截断剩下的位向量保持不变，

即 是[X_w-1,x_w-2,……x₀]截断为一个k位时，得到一个位向量 是[X_k-1,x_k-2,……x₀]

四、整数运算

      大多数计算机中，无论是有符号还是无符号，除了右移操作和特殊的算术操作即双操作数乘除法指令，

      在翻译成的汇编代码中加减乘除和左移都是一样的指令，右移则根据操作数是否有符号选择算术还是逻辑右移。

整数运算最麻烦的也许就是对溢出的理解了。

1.    加法，

记住有符号和有符号使用用一种算术指令。

因为二进制补码和无符号加法运算有着完全相同的位级表示，而且通过模数加法的属性，可以证得。

1.1无符号

考虑两个无符号数ux，uy；两者之和是sum；

如果sum超过了unsigned（-1），-1的二进制向量位全为1，也就是无符号的最大表达值。

由于我们这种二进制表示有一种环属性，

当超过这个unsigned（-1）时，由计算机得到的结果是sum- 2^w

1.2有符号

它存在两种溢出，正溢出和负溢出。

有符号数最大值是01……1，即2^w-1 -1

有符号数最小值是10……0，即-2^w-1

负溢出会是结果成为正，正溢出会是结果成为负。

两个有符号数x，y和sum，

如果sum>=2^w-1 则正溢出，计算机结果是sum-2^w

如果sum<-2^w-1 则溢出，计算机结果是sum+2^w

 

2. 乘法

   同样二进制补码和无符号乘法运算有着完全相同的位级表示

因为W位的二进制数，成绩结果可能需要超过W位到2W位的位级表示

但是在计算机乘法运算中，将结果截断为W位，所以会在某些大数乘积运算时差生溢出。

例如IA32 linux下

int x=0xFFFF;

int y=0xFFFF;

x*y结果则是0xFFFE001，差生一个负数。

因为在大多数及其上，乘除指令相当的慢，需要更多的时钟周期，所以对于带有常数因子的运算，编译器会试着用移位和加法运算的组合来代替。

 

 

ps：

1.表达式的输入好麻烦 

2.二进制表示整数以及运算还有着很多特别的属性，当然都能从以上推导出来，

3.如果希望更深入的理解二进制，可以去看些汇编代码会更好。