抽奖人问题

抽奖人问题： 

为方便起见，我将此问题一分为三来讨论，也请大家细细体会其中的不同 


一、 
    三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，我告诉你是2号，你要不要换3号？ 

二、 
    三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，“但即使二个门都没有奖品我也只能推开一个门”，我告诉你是2号没有，你要不要换3号？ 

三、 
    三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，“如果二个门都没奖品，我将全部推开”，我告诉你是2号没有，你要不要换3号？ 


易见，命题二，三共同构成命题一，换句话或，单纯的命题一是不可解的。 

对于命题三，别不废话，很明显，换成3号,所以我们只考察问题二，有了附加条件，此题可解。 


用事件A,B,C分比较表示奖品在1，2，3号，易见，A,B,C构成完备事件组，且当且仅当奖品数为1时，A,B,C构成完备事件组 

另设离散随机变量X,其取值为: 

X=1;2,3中有一个空门； 
X=2;2,3中有二个空门； 

{X＝i}同样构成完备事件组： 

P(A)=sigma(p(X=i)*P(A|X=i)),i=1,2,全概率公式 

易见：p(A|X=1)=0,P(A|X=2)=1; 

故P(A)=P(X=2),(*) 

到这，要特别强调的是，(*)式中P(A)表示的是推门之后的概率，而P(X=2)表示的是“推门之前”B,C中有二个空门的概率，当然，这不是我人为规定的，二是算式本身“允许”的意义之一。 

事实上，我们同样可以定义p(X=2)为推门后的概率，但这样一来，(*)式就不可求了，我们无法断定X事件在推门前后取值的概率是否发生了变化（其实当然是变化了） 

有人要问，问什么你的p(X)可以随便定义？呵呵，秘诀就是,X在任何时刻构成完备事件组，不管你门推不推，X的取值都只能是1或2，是完备事件组就可以用全概公式.而不需要考虑“事前事后”等条件。 

p(A)=P(X=2)=? 

这是小学生都会算的题目，我就不算了。 

问题的关键：主持人的“推门策略” 


题目当然也可以扩充，比如说，主持人以概率p在X=2时“推开第二道门”，但这已经超出“智利题”范畴了（原题相当于P＝0，当P=1时，退化为问题三), 

可以证明，假设主持人只推了一扇门，随着p的增大，p(A)也逐渐增大，p->1,p(A)->1,遗留问题如下： 

求出p,使得p(A)=1/2