求1 + 2^a + 2^(2a+1) = b^2的整数解

题目：求所有的整数对（a，b），使1 + 2^a + 2^2a+1 = b²成立。

解法：

显然, a=0时 b=∓2. 如果 a=1 或 a=2, b 没有整数解. 如果a=-1, b也没有整数解，如果 a<-1, 等式左边 (1 + 2^a + 2^2a+1 ) 的值不是整数. 所以接下来只需考虑 a>2 的情况。

按下列次序转换方程:

1 + 2^a + 2^2a+1 = b²

2^a + 2^2a+1 = b² - 1

2^a (1+ 2^a+1) = (b - 1)(b + 1)

如果a、b存在整数解, 则必定存在整数 i/j/m，使得下面3个等式成立。

i*j=(1+ 2^a+1) ; ---[1] 根据该式，i、j必定为奇数.

i*2^m  = b-1;     ---[2]

j*2^a-m =b+1;    ---[3]

合并[2]、[3]式可以得到：

i*2^m  = j*2^a-m  - 2;

i*2^m-1  = j*2^a-m-1  - 1; 根据该式，可以确定m=0 或 m=1。 (如果 m<0, 等式左边不是整数， 但右边是。如果 m>1，等式左边是偶数，)

当 m=0时，a=0，b=2。

当 m=1：

i = j*2^a-2 - 1; 将该式代入[1] 可得：

(j*2^a-2 - 1)*j = 1+ 2^a+1;

j ²*2^a-2 - j = 1+ 2^a+1;

2^a-2 (j ² – 8) = j + 1; 由于 a>2 并且j 是基数, 所以j只能为 3. 当 j=3时，a=4, b=∓23.

所以总共只有4组整数解： (0, 2) 、(0, -2)、(4, 23)、 (4, -23)。

 

这道题是公司的一个同事在内部论坛发的问题，不知道题目的来源，我也没在网上搜索。

感谢2个同事指出了我的解法中的2个小错误。