名人 (Celebrity)

问题描述： 在一个聚会上有 n 个人，其中有一个名人，大家都认识他，但他却不认识所有其他人。现在请你只通过询问来宾 x 是不是认识来宾 y 的方式把这个名人找出来。最多只能使用 O(n) 次询问。

当我第一次听到这个问题是，我觉得这题是反直觉的：O(n) 能够做到？随机找一个人，比如说 x，要确定是不是所有人都认识他，就要 O(n) 的时间，确定他是不是不认识所有其他人，也要O(n) 时间。问题是，x 正好是孤独者的概率很低。在这个策略下，期望的询问次数是 O(n²)。

那么，如何做到 O(n) 的复杂度呢？假设问 u 是否认识 v。答案只有两种：认识，则 u 不可能是名人；不认识，则 v 不可能是名人。这样，通过一次询问，就可以排除掉一个来宾。通过按对进行询问，通过 n/2 次询问就可以排除掉一半的人。在剩下的一半来宾中，递归地运用这个策略。令 T(n) 表示在 n 个来宾中找出这个名人所需的询问次数，则 T(n) = T(n/2) + O(n)。显然， T(n) = O(n)。

这个解法巧妙的地方在于运用了排除法。令人吃惊地是，在这道题目中，排除的效率比直接的搜寻高出 O(n) 的倍数。有时候，直接的搜索法比较低效时，可以考虑用排除的方法寻找答案。

《算法导论（第二版）》第22 章的问题 22.1-6 （ universal sink ）有名人问题的有向图版本：用一个 n x n 的邻接矩阵表示一个 n 个结点的有向简单图。假设这个图上有一个结点，其入度为 n-1，出度为 0。用 O(n) 的时间找出这个结点。很显然，这个问题和上面的名人问题是一样的。

最后，我们不仅要问，这样的结点（或名人）最多能有多少个？简单地推理可知，最多只能有一个。

备注： 刚才把这个问题作为 quiz 问一学生物的mm，想看看非计算机的人是怎么思考这个问题的。她的解法似乎更简洁：一开始，找两个人，比如 a 和 b，问 a 是否认识 b。如果不认识，则排除 b，否则排除 a；然后再接着找 c 来和未排除的人进行询问，直到最后只剩下一个人，即是名人。很明显，只需要 n-1 次询问。关于复杂度的计算，最关键是观察便是，一次询问即可以排除一个人。因此，不论是什么顺序进行询问，所需的次数均是 n-1。

 

备注：本人撰写原文时，并不知道这个问题即为名人问题，现已更新。