常用算法的递归实现问题分析(针对《数据结构与程序设计》by Robert.L.Kruse)

                        常用算法的递归实现问题分析

                         ——针对《数据结构与程序设计》by Robert.L.Kruse

 

 

直接或者间接调用自身的算法称为递归算法。在程序设计中，递归实现是一种结构清晰，可读

 

性强的方法。它经常和分治法结合使用，即对于一个复杂的问题，我们可以考虑先将其反复的

 

分解成相似的子问题，直到子问题规模小到可以轻易解决。注意，子问题的问题规模必须比原

 

问题小且简单。 将求出的小规模问题的解合并为一个更大规模问题的解，自底向上逐步求出原

 

来问题的解。

 

 

在对问题进行递归分解之前，必须确定该递归过程的终止条件；必须明确递归分解步骤的精确

 

形式。

 

一，快速排序

 

基本思想(连续存储)：首先，一般选择位于数组中部的元素作为枢轴。然后将该数组分成两部

 

分(两个子数组)，位于枢轴前面的元素都比枢轴元素小，以后的都比枢轴元素大。其后反复做

 

同样的递归分解，直到满足终止条件:high<=low.(low,high分别表示子数组头元素和尾元

 

素的序号)最后将所有子数组自底向上合并，即得到一个有序数组。

/*quick_sort*/void quick_sort(){recursive_quick_sort(0,count-1);}void recursive_quick_sort(int low,int high){int pivot_position;if(low<high){pivot_position=partition(low,high);recursive_quick_sort(low,pivot_position-1);recursive_quick_sort(pivot_position+1,high);}}int partition(int low,int high){Record pivot;int i,last_small;swap(low,(low+high)/2);pivot=entry[low];last_small=low;for(i=low+1;i<=high;i++)if(entry[i]<pivot){last_small=last_small+1;swap(last_small,i);}swap(low,last_small);return last_small;} 

算法复杂度分析:

(面试时注意这里经常被问到)

首先快速排序的平均时间复杂度是O(nlogn),最坏情况下(每次被分成1，n-1)两部分，时间复杂度是

O(n^2).这里主要考察交换swap次数。

假设p(排号)被选作哨兵，则partition后，数列被划分了1,...,p-1和p+1,...,n两部分

 

s(n,p)=(p+1)+s(p-1)+s(n-p)

 

s(n,1)+s(n,2)+....+s(n,n)=(1+1)+s(1-1)+s(n-1)+(2+1)+s(2-1)+s(n-2)+...(n+1)+s(n-1)+s(0)

 

[s(n,1)+s(n,2)+...+s(n,n)]/n=s(n)=n/2+3/2+2/n(s(0)+s(1)+...+s(n-1))

 

s(n-1)=(n-1)/2+3/2+2/(n-1)(s(0)+s(1)+...+s(n-2))

 

ns(n)-(n-1)s(n-1)=n+1+2s(n-1) =>s(n)/(n+1)=s(2)/3+1/3+...+1/n

 

1+1/2+...+1/n=ln n+O(1) => s(n)=(n+1)ln n +O(n)

二，归并排序

 

基本思想(链表存储)：首先，尽量将链表分为元素数相等的两个子串，然后分别对其排序，递

 

归分解直到满足终止条件：sub_list=NULL&&sub_list->next=NULL。最后再将两个已排序

 

的子串合并为一个链表。

 

 

 

<未完待续>