算法导论学习笔记－第八章－线性时间排序

总结：这章主要讲了非比较排序的几种算法，计数排序、基数排序、桶排序。

 

1.    排序算法时间的下届

比较排序：排序结果中，各元素的次序基于输入元素间的比较。

比较排序可以被抽象为决策树

 

定理：任意一个比较排序算法在最坏情况下，都需要做Ω(nlgn)次的比较。

 

2.    计数排序

假设：n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数

基本思想：对每一个输入元素x，确定出小于x的元素个数

分析：    O(n+k)，当k=O(n)是，运行时间为O(n)

              稳定排序

 

假定输入是个数组A[1...n]，length[A]=n，存放排序结果的B[1..n]，提供临时存储区的C[0..k]

 

伪代码

COUNTING-SORT(A, B, k)

for i <- 1 to k

      do C[i] <- 0

for i <- 1 to length[A]

      do C[A[i]] <- C[A[i]]+1 //C[i]包含等于i的元素个数

for i <- 1 to k

      do C[i] <- C[i-1]+C[i] //C[i]包含了小于等于i的元素个数

for i <- length[A] downto 1 //从后往前，保证了排序的稳定性

      do B[C[A[i]]] <- A[i]

           C[A[i]] <- C[A[i]]-1

#include <iostream>using namespace std;void countingSort(int a[],int b[], int k, int length){int *c=new int[k];for(int i=0;i<k;i++)c[i]=0;for(int i=0;i<length;i++)c[a[i]]++;for(int i=1;i<k;i++)c[i]+=c[i-1];for(int i=length-1;i>=0;i--){b[c[a[i]]-1]=a[i];c[a[i]]--;}for(int i=0;i<length;i++)cout << b[i] << " ";cout << endl;}int main(){int a[15]={4,5,7,1,2,4,3,8,8,9,10,3,12,2,14};int b[15];int length=sizeof(a)/sizeof(int);countingSort(a,b,16,length);}

 

 

3.    基数排序

按最低有效位进行稳定排序（可以用计数排序）

输入数组A，A中每个元素都有d位数字

分析：O(d(n+k))

 

伪代码

RADIX-SORT(A, d)

for i <- 1 to d

      do use a stable sort to sort array A on digit i

 

4.    桶排序

算法思想：把区间分成桶，将输入的元素放入对应桶中，对桶中的元素进行排序（可以是插入排序）

分析：O(n)

 

伪代码

BUCKET-SORT(A)

n <- length[A]

for i <- 1 to n

      do insert A[i] into list B[(nA[i])]

for i <- 0 to n-1

      do sort list B[i] with insertion sort

concatenate the lists B[0], B[1], …, B[n-1] together in order

 

【练习题】

1.       说明如何在O(n)时间内，对0到n^2-1之间的n个数进行排序。

说明：此时k=O(n^2)了，不能直接用计数排序。可以将数表示为2位n进制数，每位的范围0~n-1，使用基数排序，复杂度O(n+n)=O(n)

 

【思考题】

1.       排序不同长度的数据项

1）  给定一个整数数组，其中不同的整数中包含的数字个数可能不同，但该数组中，所有整数中总的数字数为n。说明如何在O(n)时间内对该数组进行排序。

思路：首先按数字的个数用计数排序，对数字个数相同的用基数排序。

 

2）  给定一个字符串数组，其中不同的串包含的字符数可能不同，但所有串中总的字符个数为n。说明如何在O(n)时间内对该数组进行排序。(eg. a < ab < b)

思路：首先按字符串的首字母排序，去掉首字母，再按首字母排序，这样递归。