判断单链表是否存在环，判断两个链表是否相交问题详解

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http://blog.csdn.net/ssfp8762/archive/2009/07/08/4331419.aspx

 

 

【摘要】有一个单链表，其中可能有一个环，也就是某个节点的next指向的是链表中在它之前的节点，这样在链表的尾部形成一环。1、如何判断一个链表是不是这类链表？2、如果链表为存在环，如果找到环的入口点？扩展：判断两个单链表是否相交，如果相交，给出相交的第一个点。

有一个单链表，其中可能有一个环，也就是某个节点的next指向的是链表中在它之前的节点，这样在链表的尾部形成一环。

问题：

1、如何判断一个链表是不是这类链表？
2、如果链表为存在环，如果找到环的入口点？

解答：

一、判断链表是否存在环，办法为：

设置两个指针(fast, slow)，初始值都指向头，slow每次前进一步，fast每次前进二步，如果链表存在环，则fast必定先进入环，而slow后进入环，两个指针必定相遇。(当然，fast先行头到尾部为NULL，则为无环链表)程序如下：

bool IsExitsLoop(slist * head)
{
    slist * slow = head ,  * fast = head;

    while  ( fast  &&  fast -> next ) 
    {
        slow  =  slow -> next;
        fast  =  fast -> next -> next;
        if  ( slow  ==  fast )  break ;
    }

    return   ! (fast  ==  NULL  ||  fast -> next  ==  NULL);
}

二、找到环的入口点

当fast若与slow相遇时，slow肯定没有走遍历完链表，而fast已经在环内循环了n圈(1<=n)。假设slow走了s步，则fast走了2s步（fast步数还等于s 加上在环上多转的n圈），设环长为r，则：

2s = s + nr
s= nr

设整个链表长L，入口环与相遇点距离为x，起点到环入口点的距离为a。
a + x = nr
a + x = (n – 1)r +r = (n-1)r + L - a
a = (n-1)r + (L – a – x)

(L – a – x)为相遇点到环入口点的距离，由此可知，从链表头到环入口点等于(n-1)循环内环+相遇点到环入口点，于是我们从链表头、与相遇点分别设一个指针，每次各走一步，两个指针必定相遇，且相遇第一点为环入口点。

程序描述如下：

slist *  FindLoopPort(slist * head)
{
    slist * slow  =  head,  * fast  =  head;

    while  ( fast  &&  fast -> next ) 
    {
        slow  =  slow -> next;
        fast  =  fast -> next -> next;
        if  ( slow  ==  fast )  break ;
    }

    if  (fast  ==  NULL  ||  fast -> next  ==  NULL)
        return  NULL;

    slow  =  head;
    while  (slow  !=  fast)
    {
         slow  =  slow -> next;
         fast  =  fast -> next;
    }

    return  slow;
}

附一种易于理解的解释：

一种O（n）的办法就是（搞两个指针，一个每次递增一步，一个每次递增两步，如果有环的话两者必然重合，反之亦然）： 
关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步，速度快的会把速度慢的扣圈

可以证明，p2追赶上p1的时候，p1一定还没有走完一遍环路，p2也不会跨越p1多圈才追上

我们可以从p2和p1的位置差距来证明，p2一定会赶上p1但是不会跳过p1的

因为p2每次走2步，而p1走一步，所以他们之间的差距是一步一步的缩小，4，3，2，1，0 到0的时候就重合了

根据这个方式，可以证明，p2每次走三步以上，并不总能加快检测的速度，反而有可能判别不出有环

既然能够判断出是否是有环路，那改如何找到这个环路的入口呢？ 

解法如下： 当p2按照每次2步，p1每次一步的方式走，发现p2和p1重合，确定了单向链表有环路了

接下来，让p2回到链表的头部，重新走，每次步长不是走2了，而是走1，那么当p1和p2再次相遇的时候，就是环路的入口了。

这点可以证明的：

在p2和p1第一次相遇的时候，假定p1走了n步骤，环路的入口是在p步的时候经过的，那么有

p1走的路径： p+c ＝ n；         c为p1和p2相交点，距离环路入口的距离

p2走的路径： p+c+k*L = 2*n；   L为环路的周长，k是整数

显然，如果从p+c点开始，p1再走n步骤的话，还可以回到p+c这个点

同时p2从头开始走的话，经过n步，也会达到p+c这点

显然在这个步骤当中p1和p2只有前p步骤走的路径不同，所以当p1和p2再次重合的时候，必然是在链表的环路入口点上。

扩展问题：

判断两个单链表是否相交，如果相交，给出相交的第一个点（两个链表都不存在环）。

比较好的方法有两个：

一、将其中一个链表首尾相连，检测另外一个链表是否存在环，如果存在，则两个链表相交，而检测出来的依赖环入口即为相交的第一个点。

二、如果两个链表相交，那个两个链表从相交点到链表结束都是相同的节点，我们可以先遍历一个链表，直到尾部，再遍历另外一个链表，如果也可以走到同样的结尾点，则两个链表相交。

这时我们记下两个链表length，再遍历一次，长链表节点先出发前进(lengthMax-lengthMin)步，之后两个链表同时前进，每次一步，相遇的第一点即为两个链表相交的第一个点。

 

 

 

 

http://topic.csdn.net/u/20090118/20/c71a185b-f217-4c7d-aba7-fad3f8857428.html

一种O（n）的办法就是（搞两个指针，一个每次递增一步，一个每次递增两步，如果有环的 
话两者必然重合，反之亦然）： 
关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步，速度快的会把速度慢的扣圈 

可以证明，p2追赶上p1的时候，p1一定还没有走完一遍环路，p2也不会跨越p1多圈才追上 

我们可以从p2和p1的位置差距来证明，p2一定会赶上p1但是不会跳过p1的 

因为p2每次走2步，而p1走一步，所以他们之间的差距是一步一步的缩小，4，3，2，1，0 
到0的时候就重合了 

根据这个方式，可以证明，p2每次走三步以上，并不总能加快检测的速度，反而有可能判别 
不出有环 

既然能够判断出是否是有环路，那改如何找到这个环路的入口呢？ 

解法如下： 当p2按照每次2步，p1每次一步的方式走，发现p2和p1重合，确定了单向链表有                                        
环路了 

接下来，让p2回到链表的头部，重新走，每次步长不是走2了，而是走1，那么当p1和p2再次 
相遇的时候，就是环路的入口了。 

这点可以证明的： 

在p2和p1第一次相遇的时候，假定p1走了n步骤，环路的入口是在p步的时候经过的，那么有 

p1走的路径： p+c ＝ n；        c为p1和p2相交点，距离环路入口的距离 

p2走的路径： p+c+k*L = 2*N；  L为环路的周长，k是整数 

显然，如果从p+c点开始，p1再走n步骤的话，还可以回到p+c这个点 

同时p2从头开始走的话，经过n不，也会达到p+c这点 

显然在这个步骤当中p1和p2只有前p步骤走的路径不同，所以当p1和p2再次重合的时候，必 
然是在链表的环路入口点上。 

我不明白的是这个： 
显然，如果从p+c点开始，p1再走n步骤的话，还可以回到p+c这个点 

为什么p1再走n步肯定会到p+c这个点呢？ 

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把自己当成别人；把别人当成自己；把别人当成别人；把自己当成自己. 


※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 220.205.145.*] 
发信人: techyb (struggleyb), 信区: Algorithm 
标  题: Re: 关于链表环的判断问题 
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 21:41:27 2008), 站内 

n是环的长度啊，走环一周，当然回到自己的位置 

【 在 len1982 (牧童|天黑黑) 的大作中提到: 】 
: 一种O（n）的办法就是（搞两个指针，一个每次递增一步，一个每次递增两步，如果有? 
的话两者必然重合，反之亦然）： 
: 关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步，速度快的会把速度慢的扣圈 
: 可以证明，p2追赶上p1的时候，p1一定还没有走完一遍环路，p2也不会跨越p1多圈才追? 
: ................... 

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发信人: len1982 (牧童|天黑黑), 信区: Algorithm 
标  题: Re: 关于链表环的判断问题 
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 21:51:03 2008), 站内 

n怎么会是环的长度？ 
环的长度不是不确定的吗？ 
实在是想不明白 

【 在 techyb (struggleyb) 的大作中提到: 】 
: n是环的长度啊，走环一周，当然回到自己的位置 


-- 
台球三项基本原则：走位基本靠喊，进球基本靠蒙，赢球基本靠摆 
发信人: threader (例如,每天爱你多一些), 信区: Algorithm 
标  题: Re: 关于链表环的判断问题 
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 22:20:59 2008), 站内 

p1走的路径： p+c ＝ n；        c为p1和p2相交点，距离环路入口的距离 

p2走的路径： p+c+k*L = 2*N；  L为环路的周长，k是整数 
                        ～～这里是n 

算一下 n=p+c=k*L 
是环长的整数倍 
所以走n步还在那个p+c点 
【 在 len1982 (牧童|天黑黑) 的大作中提到: 】 
: n怎么会是环的长度？ 
: 环的长度不是不确定的吗？ 
: 实在是想不明白 
: ...................

http://topic.csdn.net/u/20090114/13/f8ee7aa3-31a3-4616-b9e5-2650b37d8204.html

http://blog.csdn.net/ssfp8762/archive/2009/07/08/4331419.aspx

假设该链表在环出现之前有L个结点，环中有C个结点。 
再假设慢指针初始化时指向的位置为a、快指针初始化时指向的位置为b， 
如果二者在t次移动后相遇，也就是说：(a+t-L) mod C == (b+2*t-L) mod C 
稍微变形一下就可以看出，t==a-b(mod C)这个模线性方程一定有解 
所以无论a、b的起始位置如何，二者总是会相遇的。 

这种方法之所以能够判断链表中是否有环，是要使快、慢指针在环里转圈的时候总会碰面。 
所以快慢指针的步长选择很重要，起始位置倒是无关紧要的事情。

现实生活中固然是这样。但这个例子是个离散模型，所以不能这么想当然。 

比方说：假设链表是由4个结点首尾相接构成的一个圆圈（编号为0~3） 
慢指针初始位置在0，每次前进1步； 
快指针初始位置在3，每次前进3步； 
虽然这两个指针也是一快一慢一前一后，但它们永远也不会相遇！ 

说到底就是要保证模线性方程有解，所以前面也说了“快慢指针的步长选择很重要”。 
楼主的代码里慢指针每次前进1步、快指针每次前进2步，这样是肯定能够相遇的。