4.3 买票找零 卡特兰数

转自：http://blog.163.com/prevBlogPerma.do?host=gpww&srl=118268164200996103932731&mode=prev

《编程之美》中提到了“买票找零”问题，查阅了下资料，此问题和卡特兰数 Cn有关，其定义如下：

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

• Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X，例如长度为 6的 Dyck words为：

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

 
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

• Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

• Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

• Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

• Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

 

分析

    “卡特兰数”除了可以使用公式计算，也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例，对于一个序列 (()而言，有两个左括弧，和一个右括弧，可以看成“抵消了一对括弧，还剩下一个左括弧等待抵消”，那么说明还可以在末尾增加一个右括弧，或者一个左括弧，没有左括弧剩余的时候，不能添加右括弧。
    由此，问题可以理解为，总共 2n个括弧，求 1～2n级的情况，第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1～8级的计算过程如下表：

    计算过程解释如下： 1级:只能放 1个“(”； 2级:可以在一级末尾增加一个“）”或者一个“ (”
以后每级计算时，如果遇到剩余 n>0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级；遇到剩余 n=0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。

奇数级只能包含剩余奇数个“（”的排列方案
偶数级只能包含剩余偶数个“（”的排列方案

从表中可以看出，灰色部分可以不用计算。

解法

关键代码为：

        double Catalan(int n)        {            if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)            {                var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i;                for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2)                {                    if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j];                    if (j < n) arr[j + 1] += arr[j];                    arr[j] = 0;                }            }            return arr[0];        }

 

其中：
n为 Cn中的 n；
arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k个括弧的时候，剩余 "("个数为 i的排列方案个数 arr[1] = 1;

 

讨论

算法复杂度为 = O(n^2)，空间复杂度为 O(n+1)。相对于利用公式计算而言，此方法的优势在于——没有乘除法，只有加法。

 

   数学真的是很神奇的东西，可惜自己的数学奇烂无比！