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信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：
式中：
所以：
幅值频谱：
相位频谱：
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。
1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
1.3求指数函数 的频谱。
解：
1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.
解:1) 符号函数的频谱:
令:
2)单位阶跃函数的频谱:
1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
解：
1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： 的频谱
解：
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？
解：
当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象
1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x)
解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)
等式两边对x求导数：
2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值误差将是多少？
解：
当T=1s时，
，即
，误差为59%
当T=2s时，
，误差为33%
当T=5s时，
，误差为8%
2.3求周期信号
，通过传递函数为
的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
，
，
，
，
，
，
2.7将信号
输入一个传递函数为
的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出
的表达式。
解： 
，
，
=
2.8求频率响应函数
的系统对正弦输入
的稳态响应的均值显示。
解： 写成标准形式
∴ 
对正弦波，
2.9试求传递函数分别为
和
的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
解： 
，
，
2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
∴ 
即 
，
，
当
，且
时
∴ 此时振幅误差
2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比
，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比
和相角差
各为多少？若该装置的阻尼比可改为
，问
和
又将作何种变化？
解： 作频率为400Hz的正弦力测试时
当阻尼比改为
时
即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。
2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
解： 最大超调量
即 
且 
∴ 
系统的传递函数
该装置在无阻尼固有频率处的频率响应
由
∴ 
为有阻尼固有频率
M=0.5，
，∴ 
S=3
∴
（
时代入得）
4.1解 ：m=2mm时，
单臂，
双臂，
：m=2000mm时，
单臂，
双臂，
双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。
4.4解：
4.5解：
4.10 解：
4.11 解：
5.1
5.2 
由同频相关，不同频不相关得：
5.3：由图可写出方波的基波为
5.4: 
5.5:见图5-16
5.6:由自相关函数的性质可知:
5.7:由对称性性质:
f
