数组元素交叉排列的算法题(a1 a2 a3 .. an b1 b2 b3 .. bn -->a 1 b1, a2 b2, a3 b3, .. an bn ) 概论思想(perfect shuffle 算法)

perfect shuffle 算法

今天又发现一个关于完美洗牌的算法。这个比较简单一些，由 microsoft的Peiyush Jain提出。 ­

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原论文：      A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle. ­

                 Peiyush Jain, Microsoft Corporation. ­

                            July 2004

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问题描述： ­

所谓完美洗牌算法即是把输入为: ­

a_1,a_2........a_n,b_1,b_2.........b_n的序列变为 ­

b_1,a_1,b_2,a_2.......b_n,a_n 这是in perfect shufle。相对应的还有out perfect shuffle。两者区别在于首尾元素位置变或不变。 ­

perfect shuffle算法要求在O(n），时间内，O(1）空间内完成。 ­

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perfect shuffle实质是一个置换。置换为： ­

                                       i -> 2*i mod (2*n+1) ­

由于置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。 ­

如   ­

n=3时 输入 1  2  3  A  B  C b   => A   1   B   2   C   3所对应的轮换为（1，2，4）（3，6，5） ­

选代表元为1和3以及一个临时变量T： ­

                       2->T,1->2 ­

1  2  3   A   B   C  ----------->   ­

                       4->1,T->4 ­

_  1  3   A   B   C  ----------->   ­

                       6->T,3->6 ­

A  1  3   2   B   C  -----------> ­

                       5->3,T->5 ­

A  1  _   2   B   3  -----------> ­

A  1  B   2   C   3   置换完成 ­

因此问题就转换为求置换的轮换分解中的代表元问题了。 ­

文中巧妙的利用特定条件下每个不相交的轮换可有3的不同幂次生成­。

 

我们分析长度2*n=3^k-1的置换的轮换分解。 ­

考虑某一包含3^s（ 1 =< s < k ）的轮换。不妨记3^s为a_1，3^k记为m。 ­

则轮换里的数分别为： ­

  a_2 =  2* a_1 mod m ­

  a_3 =  2* a_2 mod m; ­

  a_4 =  2* a_3 mod m; ­

    . ­

    . ­

    . ­

  a_n = 2* a_n-1 mod m ­

  a_1 = 2* a_n   mod m ­

­

则    a_1  ≡2^n * a_1 mod m;  ( 最后一项中的a_n用倒数第二行乘2替代，以此类推........) ­

因此每个3^s开始的一个轮换满足 :  3^s ≡3^s * 2^n mod 3^k ­,且长度为n

现假设两个不同的3^s开始的轮换存在相交的元素,记为:p

p≡3^i*2^n mod 3^s

p≡3^j*2^m mod 3^s  (i,j<s)

若n,m都为0,则显然i=j; 假设 i>j

否则应有:3^s ｜(3^i*2^n -3^j*2^m) ===>3^s ｜{ 3^i*( 2^n-3^(j-i)*2^m ) }

因为: gcd(3^s , ( 2^n -3^(j-i)*2^m) )=1   注:2^n - 3^(j-i)*2^m 只含2的幂次因子.因为由初等的数论知识可知道

am+bn即m,n的线性组合只能表示gcd(m,n)的倍数.

 

因此上面等式不能成立.

因此每个以不同的3^i开始的轮换不会相交.

上面证明了每个3^i开始的轮换不相交,还需要计算每个3^i起始的轮换覆盖了所有的元素,这可以采用计数的方法证明.

因为每个3^i开始的轮换的长度满足:

                                                  3^i≡3^i *2^N mod3^s 即2^N≡1mod3^(s-i) 

           所以N=φ(3^(s-i))=φ(3^s)/3^i                                 {  gcd (2,3)=1, N是满足等式最小的数}

对i从0到3-1求和就得所有轮换的元素个数为φ(3^s) . 3^s为素数,因此φ(3^s)=3^s-1,即覆盖了所有元素.

 

因此很容易得出各轮换的代表元就为3^0,3^1,3^2......3^i(i<k,i+1>k). ­

对于2*n不等于3^k-1的情况，可以巧妙的利用这个结论完成ferfect shuffle。 ­

对于2*n不等于3^k-1时，先找一个最接近2*n且比2*n小的2*m=3^k-1。进行如下变换。 ­

把序列中m+1到n+m的子序列循环右移m位。 ­

A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_m，A_m+1......A_n，A_n+1，A_n＋2，.......A_n+m,A_n+m+1.....A_2*n   -> ­

A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_n+1,A_n+2.....A_n+m,A_m,A_m+1......A_n+m+1................A_2*n ­

然后对前2*m子序列进行上面的perfect shuffle。然后对剩下的部分进行同样处理。 ­

例如对于长为14的序列进行perfect shuffle置换： ­

输入序列为： ­

1  2  3  4  5  6  7  A  B  C  D  E  F  G           ­

14=2*7≠3^k.与14最接近的3^k-1是8=3^2 - 1.因此先对4+1到7+4的子序列循环右移4位得： ­

1  2  3  4  A  B  C  D  5  6  7  E  F  G ­

对前8位进行perfect shuffle移位后得： ­

A  1  B  2  C  3  D  4  5  6  7  E  F  G ­

剩下的子序列为 ­

5  6  7  E  F  G   ­

长度为6 最接近的2*m1=3^k1-1是 m=1 ­

因此对 1+1 到3+1进行循环右移1位得 ­

5  E  6  7  F  G ­

进行2*m的perfect shuffle后得整个序列为： ­

A  1  B  2  C  3   D  4   E   5    6   7   F   G ­

剩下的未处理的子序列为： ­

6   7   F   G ­

同样的循环移位后为： ­

6   F   7   G ­

进行m=1的perfect shuffle得整个序列为： ­

A  1  B  2  C  3  D  4  E  5  F  6   7  G ­

剩下未处理的子序列为 ­

7   G ­

长为2的轮换即交换，最后得整个序列为： ­

A  1  B  2  C  3  D  4  E  5  F  6  G  7 ­

完成perfect shuffle。 ­

移位是线性时间，3^k - 1的perfect shuffle置换也是线性时间，最后的递归是对剩下的子序列进行同样的操作，因此整个过程在线性时间内完成。而且需要的辅助空间为常数－个额外临时变量。­

 

­实现代码：

#include "stdio.h"

 

 

//轮换
void Cycle(int Data[],int Lenth,int Start)
{
    int Cur_index,Temp1,Temp2;

 

      Cur_index=(Start*2)%(Lenth+1);
      Temp1=Data[Cur_index-1];
      Data[Cur_index-1]=Data[Start-1];
  
  while(Cur_index!=Start)
   {
  Temp2=Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1];
        Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1]=Temp1;
        Temp1=Temp2;
  Cur_index=(Cur_index*2)%(Lenth+1);
   }
}

 

//数组循环移位 参考编程珠玑
void Reverse(int Data[],int Len)
{
  int i,Temp;
  for(i=0;i<Len/2;i++)
  {
   Temp=Data[i];
   Data[i]=Data[Len-i-1];
   Data[Len-i-1]=Temp;
  }
}
void ShiftN(int Data[],int Len,int N)
{
   Reverse(Data,Len-N);
   Reverse(&Data[Len-N],N);
   Reverse(Data,Len);

}

//满足Lenth=3^k-1的perfect shfulle的实现
void Perfect1(int Data[],int Lenth)
{
     int i=1;

    if(Lenth==2)
  {
   i=Data[Lenth-1];
   Data[Lenth-1]=Data[Lenth-2];
   Data[Lenth-2]=i;
   return;
  }
    while(i<Lenth)
 {
     Cycle(Data,Lenth,i);
     i=i*3;
 }
}
   //查找最接近N的3^k
int LookUp(int N)
{
   int i=3;
   while(i<=N+1) i*=3;

   if(i>3) i=i/3;

   return i;
}

void perfect(int Data[],int Lenth)
{
   int i,startPos=0;
   while(startPos<Lenth)
   {
     i=LookUp(Lenth-startPos);
     ShiftN(&Data[startPos+(i-1)/2],(Lenth-startPos)/2,(i-1)/2);
     Perfect1(&Data[startPos],i-1);
  startPos+=(i-1);
   }
}
#define N 100
 void main()
{
 int data[N]={0};
 int i=0;
 int n;
 printf("please input the number of data you wanna to test(should less than 100):/n");
 scanf("%d",&n);
 if(n&1)
 {
  printf("sorry,the number should be even ");
  return;
 }
 for(i=0;i<n;i++)
  data[i]=i+1;

 perfect(data,n);
 for(i=0;i<n;i++)
   printf("%d   ",data[i]);

}