关灯游戏

from http://topic.csdn.net/t/20050119/10/3737122.html

 

 

有一个5*6的灯泡构成的矩阵，灯的开关规则是这样：当改变某盏灯的，状态时，这盏灯的上下左右相邻的灯的状态也随之改变。例如： 
0   1   1   0   1   0 
1   0   0   1   1   1 
0   0   1   0   0   1 
1   0   0   1   0   1 
0   1   1   1   0   0 

当按下2行3列的开关时，状态变为： 
0   1   0   0   1   0 
1   1   1   0   1   1 
0   0   0   0   0   1 
1   0   0   1   0   1 
0   1   1   1   0   0 

游戏的目的是对于任意给定的亮灭初始态，通过一系列动作关闭所有的灯。 
可以注意到的是： 
1.矩阵的状态与按开关的顺序无关 
2.如果某个开关按下了两次，那么就相当于取消了第一次的操作，也就是说没有开关需要按超过1次 

现在问题是：对于给定的初始状态，求出需要按哪些开关来完成游戏 

 

 

//解法 by mathe

 

m*n的矩阵，在二阶域上解一个(m*n)阶的线性方程组就可以了

 

吧上面的矩阵看成一个m*n的向量X=(x1,x2,...,x(m*n)) 
对于位置k上的开关，它将变化最多5个位置的开关，对应一个向量 
        C(k)=(0,0,...,1,0,....,1,...,0) 
其中开关状态改变的位置为1，开关状态不改变的位置为0 
对于初始向量X=(x1,x2,...,x(m*n)),使用了开关C(k)后，状态会变成 
X+C(k)   (mod   2) 

所以对初始向量X,我们需要选择一系列的k1,k2,...,ks使得 
X+C(k1)+C(k2)+....+C(ks)   (mod   2)=O=(0,0,0,...,0) 
我们可以同样构造一个0,1向量Y,使得，如果位置k出现在k1,k2,...ks中，那么Y 
在位置k的值是1，不然是0，这样，我们就可以将上面公式写成矩阵形式 
X+Y*C   (mod   2)=O 
其中C=(C(1) '   C(2) '     ....   C(m*n) ') ' 
也就是C是由这m*n个行向量构成的矩阵，第k行就是向量C(k) 
最二阶域上，加和减是相同的，也就是上面的方程等价于 
Y*C   (mod   2)=X 
其中C,X已知，求Y. 
由于(mod   2)运算是一个域   （关于乘除加减封闭，加减是mod   2加减，还满足结合率，交换率） 
所以我们可以直接在二阶域上用高斯消元法求解（注意加减是mod   2的，对应计算机上的异或运算） 
其中，如果C可逆，解是唯一的，如果C不可逆，解可能不存在，也可能不唯一。