LCA(最近公共祖先)问题的离线算法

1 定义

LCA(Least Common Ancestors)：最近公共祖先。对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大(设树根的深度最小)。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。这里给出一个LCA的例子：对于T=<V,E>，V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}，则有：LCA(T,5,2)=1，LCA(T,3,4)=3，LCA(T,4,5)=3。

2 离线算法——Tarjan

        算法设计策略都是基于在执行算法前输入数据已知的基本假设，也就是说，算法在求解问题时已具有与该问题相关的完全信息，通常将这类具有问题完全信息前提下设计出的算法成为离线算法( off line algorithms)（来自http://baike.baidu.com/view/2734232.htm?fr=ala0_1）   

        Tarjan算法是一种用来解决LCA问题的离线算法，它要求在求解前一次读入所有LCA询问（求一个LCA(T,u,v)称为一个LCA询问）。利用并查集优越的时空复杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。Tarjan算法基于深度优先搜索的框架，对于新搜索到的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问（即求LCA(T,u,v)）都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v所在集合的祖先。下面给出这个算法的伪代码：

LCA(u) {
　　Make-Set(u)
　　ancestor[Find-Set(u)]=u/*设置u所在集合的祖先*/
　　对于u的每一个孩子v {
　　 LCA(v)
　　 Union(v,u)/*把v生成的子集并入u中*/
　　 ancestor[Find-Set(u)]=u/*防止采用树形启发式合并使u的集合根(代表)变化*/
　　}
　　checked[u]=true
　　对于每个(u,v)属于P {
　　 if checked[v]=true
　　 then 回答u和v的最近公共祖先为 ancestor[Find-Set(v)]
　　}
}              

上述伪代码中关于并查集的函数Make-Set、Find-Set、Union可以参考本空间中关于并查集的文章：http://hi.baidu.com/ly01kongjian/blog/item/e09057310ff40df31b4cffcb.html

由于是基于深度优先搜索的算法，只要调用LCA(root[T])就可以回答所有的LCA询问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问(u,v)构成集合P。