模运算及其应用

一 基本理论：

基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式  n = kp + r ；
其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b，定义如下运算： 
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

但是，要计算(a/b) mod m就不是那么容易了。 下面首先介绍一个通用公式:

                             (a / b) % m = ( a % (m*b)) / b    --- 推导见文末

除了上面的公式，还有一些特殊的情况, eg: m和b互素的时候。

1.

求出b相对于m的逆元b^(-1)，即b*(b^(-1)) = 1 (mod m)。有b*b^(-1) - km = 1，其中k是一整数. 用Extended Euclid算法可以求出`b^(-1)。然后计算a*b^(-1) mod m = ( (a%m) * (b^(-1)%m ) % m; 其值与(a/b) mod m相同

推导：a/b = x (mod m) --两边同乘一个数--> a = bx (mod m) ---x=b^-1a-> a = (b^-1) ba (mod m)

再利用b^-1*b = 1(mod m) . 所以可以得出 x = b^-1*a是成立的。

      所以 (a/b) mod m 的解与 (a*b^-1)%m的解是一样的。 而后着可以利用模对乘法的线性性 
说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
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基本性质：

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
        (a + b) % p = (a % p + b % p) % p            （1）
        (a - b) % p = (a % p - b % p) % p             （2） 
        (a * b) % p = (a % p * b % p) % p            （3）
       ab % p = ((a % p)b) % p                        （4）

结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p  （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p   （6）

交换率： (a + b) % p = (b+a) % p                 （7）

(a * b) % p = (b * a) % p                 （8）

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p  （9）

重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (%p)；     （13）

二 基本应用：

1. 最大公约数

       求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

    if (b == 0)

        return a;

    return Gcd(b, a % b);

}

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

      unsigned int temp;

    while (b != 0)

    {

        temp = a % b;

        a = b;

        b = temp;

    }

    return a;

}

4．模幂运算

       利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

       根据运算规则（4）ab % p = ((a % p)b) % p  ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（1 * 7）（%10）= 7。

       计算完毕。

       利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

       这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

       如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

       如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)

{

    if (n == 0)

    {

              return 1;

    }

    unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2]

    if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性

    {

             temp = (temp * x) % p;

    }

 

    return temp;

}

5.《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{

    unsigned int product = 1; //所有除数之乘积

    for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积

       {

             product *= devisor[i];

       } 

    //公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数

    unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

       for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数

       {

             commonMultiple[i] = product / devisor[i];

       }

 

       unsigned int dividend = 0;  //被除数，就是函数要返回的值

       for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数

       {

             unsigned int tempMul = commonMultiple[i];

             //按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1

             while (tempMul % devisor[i] != 1)

             {

            tempMul += commonMultiple[i];

           }

 

           dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数

       }

 

    delete []commonMultiple;

    return (dividend % product);  //返回最小被除数

}

6. 凯撒密码

凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以堪称是a。

例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：

在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），

解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key (mod n） （其中n为基本字符个数）

同样，解密过程可表示为：m≡c+key (mod n） （其中n为基本字符个数）
C++实现功能函数：

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母个数

    int len = strlen(proclaimedInWriting);

 

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')

             {//明码是大写字母，则密码也为大写字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

        }

             else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')

             {//明码是小写字母，则密码也为小写字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//明码不是字母，则密码与明码相同

            cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

        }

       }

       cryptograph[len] = '/0';

}

void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母个数

    int len = strlen(cryptograph);

 

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')

             {//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM

          proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

        }

             else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')

             {//密码是小写字母，则明码也为小写字母

            proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//密码不是字母，则明码与明密相同

            proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

        }

       }

       proclaimedInWriting[len] = '/0';

}

       模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。

http://blog.csdn.net/zixiaqian/archive/2009/08/25/4482418.aspx