补码知识

1、补码概述：

在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。

主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

2.、补码与原码的转换

补码与原码的转换过程几乎是相同的。

数值的补码表示也分两种情况：

       （1）正数的补码：与原码相同。

        例如，+9的补码是00001001。

       （2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。

        例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：

       （1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。

       （2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取反，然后再整个数加1。

        例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。

3、“模”的概念    

       “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如： 时钟的计量范围是0～11，模=12。 表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

      “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

        例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

        一种是倒拨4小时，即：10-4=6

        另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

        在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

        对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

        对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

    

4、补码的运算

另外两个概念

        一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码

        而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。

这里补充补码的代数加减运算：

（1）、补码加法

        [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

        例：X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

        [X]补=00110011 [Y]补=11010111

        [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

        注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是 100001010，而是00001010。

（2）、补码减法

        [X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

        其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：对补码的每一位（包括符号位）求反，最后末位加“1”。

        这里补充补码的代数解释：

        任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

        这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)

        这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。

        不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。

        注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。