树状数组 入门
来源:互联网 发布:因为淘宝而萌发的新词 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 08:54
树状数组,一个用来区间求和修改都为log(n)的算法。在网上资料很多,看起来也不是很难,学习一下!
基本上学习树状数组都会看到下面这个图,这也是最基本的一个图,看懂这个以后,对树状数组也就会有
一定的了解了。
令这棵树的结点编号为C1,C2...Cn。令每个结点的值为这棵子树的值的总和,那么容易发现:
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax,
所以很明显:Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
算这个2^k有一个快捷的办法,定义一个函数如下即可:
int lowbit(int x)
{
return x&(x^(x–1));
}
当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和),可以依据如下算法即可:
step1: 令sum = 0,转第二步;
step2: 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;
step3: 令n = n – lowbit(n),转第二步。
可以看出,这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来,为什么是效率是log(n)的呢?以下给出证明:
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1,所以查询效率是log(n)的。
那么修改呢,修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。
所以修改算法如下(给某个结点i加上x):
step1: 当i > n时,算法结束,否则转第二步;
step2: Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。
i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
对于数组求和来说树状数组简直太快了!
实现代码:
树状数组是一个很高效的进行区间统计的数据结构,在思想上类似于线段树,相比的话,空间复杂度低,编程复杂度低,可扩张到多维。但缺点是适用范围小。
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