pku2409Let it Bead

题目：pku2409

 

题意：本题的简化版为pku1286,是用c种颜色不同的珠子，可以造多少种不同的长度为s的手链。

 

方法：置换群和POLYA定理

 

介绍：

  

 

设G是N个对象上的置换群，用M种颜色涂染这N个对象，则不同的染色方案数为：

     L_G =( M^λ(g1)+M^λ(g2)+…+M^λ(gp))/|G|                       

其中G=（g₁,g₂, …g_p）, λ(g_k)为置换g_k的轮换的个数。

注意：

l       置换中轮换的个数和轮换的长度求解。

l       置换群中元素的介的求法。

l       优化问题等等。

*旋转：N个点顺时针（或逆时针）旋转i个位置的置换，轮转个数为gcd(N, i)

*翻转：

   1．当N为偶数时：

      对称轴不过顶点：轮转个数为N/2

      对称轴过顶点：轮转个数为N/2+1

   2．当N为奇数时，轮转个数为（N+1）/2

 

代码：参考SHP00001

 

 //the number of available colors c followed by the length of the bracelets s// their product does not exceed 32.#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;// 注意自己编一个pow函数，用库函数里的，精度有问题 __int64 pow(int a,int b){__int64 s=1;for(int i=0;i<b;i++)s*=a; return s;}int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}int main(){int c,s;__int64 ans;while(cin>>c>>s&&(c||s)){ans=0;/* 旋转 不妨设只能顺时针旋转。那么有不转，转1颗珠子~转s-1颗珠子，假设转i颗珠子，那么有 gcd（s，i）个循环，每个循环的长度都是s/gcd（s，i），这个结论经常用得到；*/for(int i=0;i<s;i++)ans+=(pow(c,gcd(s,i)) );/* 翻转 这个要分奇偶，如题图 the form of 5 奇数 只能对称轴穿过某颗珠子，循环个数为(n+1)/2，共有n个这样的循环群*/if(s%2){ans+=pow(c,(s+1)/2) *s ;}/* 偶数 对称轴过两个珠子，循环个数（n+2）/2，共有n/2个这样的循环群 对称轴过两个相邻珠子的，循环个数n/2，共有n/2个这样的循环群*/else {ans+=pow(c,s/2)*s/2;ans+=pow(c,s/2+1)*s/2;}ans/=(2*s);printf("%I64d/n",ans);}return 0;}