二分图最大(基数)匹配以及与其等价的几个问题

 

一.最大独立点集的定义
给定无向图G(V,E)，其中A为顶点集合V的子集，且E∩{(i,j) | i,j∈A}=空集.
求A，使得|A|最大

二.最小顶点覆盖集的定义
给定无向图G(V,E)，一个顶点覆盖集(vertex covering)是指顶点集S(S为V的子集)，使得G中任一条边(x,y)至少有一端点在S中.
求S，使得|S|最小

三.最大完全子图的定义
给定无向图G(V,E)，其中C为顶点集合V的子集，对于任意两个点i,j∈C，且i≠j，有(i,j)∈E.
求C，使得|C|最大

四.三者的等价性
(1)最大独立点集与最小顶点覆盖集的等价性
假设A为G(V,E)的一个独立点集，令B=V-A，则B为V的子集.
那么很容易就可以得出这样的结论：对于任意一条边(i,j)∈E，有i∈B或j∈B
所以B是图G(V,E)的顶点覆盖集
于是|A|=|V|-|B|，也就是说最大独立点集与最小顶点覆盖集是等价的两个问题.
在这个转化过程中就用到了点的“补集转化”——用点集V减去求解目标集合A，以得到新的目标集合B
(2)最大独立点集与最大完全子图的等价性
假设C为G(V,E)的一个完全子图
令全集U={(i,j) | (i,j)∈V}，令E'=U－E，
则在无向图G'(V,E')中，有E∩{(i,j)| i,j∈C}=空集，所以C也是图G'的最大独立点集。

五.二部图中的最大独立点集/最小顶点覆盖集/最大完全子图/最大(基数)匹配
对于普通图而言，最大独立点集/最小顶点覆盖集/最大完全子图都是NPC问题。
但对于二分图/二部图/偶图来说，这些问题与二分图的最大（基数）匹配是等价的，从而能找到多项式时间内的解法。

来看下面这个定理（同时也是二分图最大匹配的匈牙利算法中需要证明的问题）：
二分图G(V,E)中匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M增广链。
同样，我们换个角度来说，在匈牙利算法中不管以怎样的顺序找到一个匹配M，只要再也找不出M的增广路径，那么M一定就是个最大匹配
证明过程如下：
(1)首先来看下面这个弱对偶性：
如果M是任意一个匹配，S是任意一个顶点覆盖集，则M中的任一条边可以对应到一个S中是此边端点的顶点(若有两个可能则随便选一个出来对应)，因为M是匹配，M中不同二边并不会对应到相同的顶点，所以|M|<=|S|；
一般来说，有些S中的顶点也可能不被“匹配”到，所以不等号可能成立，因此，可以得到下列的弱对偶不等式：
|最大匹配集合M|<=|最小顶点覆盖集S|
(2)其次考虑下面两集合M*和S*：
首先，M*就是算法停下來时的匹配（对集）；
其次，在算法停下來的最后那次，有些顶点被列出來，有些未被列出來，S*就是所有X中未被列出的顶点和Y中被列出的顶点所成的集合(X和Y就是指二分图中的那两个顶点划分集合)。
如果我们能说明下列三件事情：
(甲) M*是一个匹配。
(乙) S*是一个顶点覆盖集。
(丙) |S*|<=|M*|
则可以得到下列不等式：
|M*|<=|M|<=|S|<=|S*|<=|M*|
因此，所有不等式也就成为等式，这其实一举证明了下面三件事实：
(甲') M*是一个最大匹配。
(乙') S*是一个最小顶点覆盖。
(丙') 最大匹配的边数等于最小顶点覆盖集的点数。