RQNOJ 329 二维背包 顺便收集整理一下相关资料

今天做这题，wa了很多次。原来是01背包没学好。

以下是优化空间复杂度后的程序

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=200;struct let{int val;int time;int h;int w;};bool operator <(const struct let a,const struct let b){return a.val<b.val;}let a[maxn];//int best[maxn][maxn][maxn];int best[maxn][maxn];int main(){//freopen("in.txt","r",stdin);int n,m,t;cin>>n>>m>>t;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].val>>a[i].time>>a[i].h>>a[i].w;}sort(a+1,a+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=a[i].h+1;j--)for(int k=t;k>=a[i].time;k--)if(best[j][k]<best[j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w)best[j][k]=best[j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w;}cout<<best[m][t]<<endl;return 0;}

以下是最直观的01背包

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=200;struct let{int val;int time;int h;int w;};bool operator <(const struct let a,const struct let b){return a.val<b.val;}let a[maxn];int best[maxn][maxn][maxn];//int best[maxn][maxn];int main(){//freopen("in.txt","r",stdin);int n,m,t;cin>>n>>m>>t;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].val>>a[i].time>>a[i].h>>a[i].w;}sort(a+1,a+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=t;k++){best[i][j][k]=best[i-1][j][k];if( k>=a[i].time && j>=a[i].h+1){if(best[i][j][k]<best[i-1][j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w)best[i][j][k]=best[i-1][j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w;}}}cout<<best[n][m][t]<<endl;return 0;}

 

一般情况

 procedure Make;
　　begin
　　for i:=0 to w do
　　f[0,i]:=0;
　　for i:=1 to m do
　　for j:=0 to w do begin
　　f[i,j]:=f[i-1,j];                                                  //这语句很重要！！ 
　　if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) then
　　f[i,j]:=f[i-1,j-w]+v;
　　end;
　　writeln(f[m,wt]);
　　end;

 

优化空间复杂度
　　以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
　　先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[v]呢？f[v]是由f[v]和f[v-c]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v-c]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c]保存的是状态f[v-c]的值。伪代码如下：
　　for i=1..N
　　for v=V..0
　　f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};

 

 初始化的细节问题
　　我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
　　如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
　　如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
　　为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
　　这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

 

完全背包问题

最优解法—O(VN)
　　for i=1..N
　　for j=0..V
　　f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。

 

部分内容摘自百度百科