小波问题解答汇集

Q1,有关双通道多项滤波器组的内容。
正交小波分析相当于双通道所采样率滤波器组，可以根据不同的要求来设计不同的滤波器
如果滤波器成为小波需要满足一定的条件。可以说有些双通道滤波器组是无法构成小波的

Q2,是不是双正交小波要比正交小波好？
需要重构的话，应当是双正交的好
在融合上双正交小波不一定好于正交小波，满足了线性相位却带来了信息冗余，效果不一定好，一般大家都用db小波

Q3，各种小波函数如何选取
A1相似性。若消噪，就选和噪声像的小波，这样噪声系数很高，就可以方便消除。若压缩，就选和信号或图像相似的，这样能量可以更集中，压缩率更大。也可以从谱域上研究，这点我不太清楚。

A2消噪时的小波必须是正交小波，未必，双正交的也可。只不过分解和重构滤波器不一样。正交只是做一次翻转，而双正交好像不太一样。我很少用它给的函数，都是自己写的程序。局部染噪用小波好，全局染噪用小波就不如用普通滤波器，像维纳和匹配。也可使用自适应算法。

Q4，小波消失矩的意义
消失矩大，小波函数光滑，支撑长度长。压缩率大。
信号分解后，高频分量少，低频分量多。
或者详细点说，具有p阶消失矩的小波其支集长度大于或等于2P－1，它同支集长度是矛盾的！
正则性我一直也想知道，等我这几天翻翻书再说吧
消失矩大，小波函数光滑，支撑长度长。但其傅立叶变换恰好相反，即消失矩小的话，其频域支撑长度长且光滑性好。

Q5,小波处理信号的缺点？
1。高频不可分。但可用小波包。2。对同频噪声不可处理。可用自适应消噪。3。连续小波冗余性大。

Q6,信号的奇异性是什么一会事?
一个函数f(x)在某处间断或某阶导数不连续，称该函数在此处有奇异性。
奇异性指数用lipischitz a(alpha)表示，在MATLAB中好象没有现成的命令或函数来计算。如果那位大侠有方法来计算，希望能提供。
奇异性实际上是衡量信号在各尺度上某一点或某一区间在各个尺度的衰减程度。可以用如下公式求解：abs(wf(u,s))<=A*s*exp（a+1/2）来求解。u是时移，s是尺度，u在区间[a,b]上，公式中的a就是lipschitz指数，这是区间上的一致性，当然还有点态lipschtiz指数，仅供参考。

 

 

 

Q7,二进小波与离散小波变换的区别
小波变换可以分为四类（1）连续小波变换;（2）离散参数小波变换，也就是连续小波变换中的参数a、b离散化，a=a0^(-m),b=n*b0*a0^(-m);

（3）离散时间小波变换，也就是连续小波变换中的时间变量t离散化，t=kT,一般T=1；（4）离散小波变换，也就是离散参数小波变换中的a0=2,b0=1.
除了卷积后不进行二抽取外，还要对滤波器进行插零处理，也就是第j级分解或重构时在原始滤波器的基础上每相邻的两个系数间插入2^j-1个零，再就是对于mallat的2D二进小波变换，每级分解只有x和y两个方向的小波系数。详细内容请参看mallat的经典论文“characterization of signals from multiscale edges"

Q8,有几个关于小波基条件的概念搞不懂
容许性（admissibility)   (这个我明白，是必须满足的,那么一下三个呢）
1. 紧支撑(compactly supported)
2 正规性（regularity)
3 n阶光滑可导
我的问题是
1 这三个条件是互相独立的吗？如果不是，他们之间有什么关系
2 他们哪些是小波基必须满足的条件
A1
1。应用的时候一般要求小波是compact support的，也就是说要求对应的滤波器系数是有限个，否则还要truncate一下，这样就有truncation error了。
2、3。 3是包含在2里面的，n阶可导就是刻画了regularity，然后regularity有很多种不同的刻画，比如用Lip指数来刻画（这种刻画比n阶导数的刻画要更细致）。

A2正交小波不一定非要满足这几个条件。比如正则性，haar wavelet，db2等等。另外，正交样条小波不满足1，尽管该小波是exponential decay的。
我顺便回答一下你刚才问的问题，呵呵。

其实mallat算法就是filter bank算法，在有小波之前就有了，mallat的贡献就在于他说明了小波变换是可以用filter bank来实现，函数与小波的内积可以转化成与对应滤波器的卷积，从而大大降低了运算量，这背后的大的理论框架就是著名的MRA。如果抛开小波，高通低通滤波器只要满足Perfect Reconstruct Filter Bank （PRFB）的条件就可以使用mallat算法，但是高通滤波器对应的未必就是一个小波，低通滤波器对应的未必是一个尺度函数（有可能连函数也不是，只是一个广义函数），为此我们要多加一些条件似的对应的两个函数是小波和尺度函数，比如Daubechies给的正交小波的充分条件，以及后来Cohen和Lawton给的充分必要条件，都是从最弱的PRFB条件出发的。所以说PRFB的条件要比对应的小波是正交小波（通过MRA构造的）的条件要弱很多。事实上，mallat的算法对于双正交小波变换甚至wavelet frame变换也适用（后者可能要换成multi－band，而不是two－band）。
第一个是个好问题！
引入小波可以更好的根据应用的需要来进行滤波器设计，毕竟如果只在离散世界里面徘徊，很多性质是看不到的，考虑对应小波的光滑度、消失距以及逼近度可以更好的判断对应的滤波器的性质是好是坏，好在哪里坏在哪里（也就是有较大的flexibility）。另外小波的意义远远不止是用filter bank做分解重构，还有很多身层次的意义，比如cascade algorithm和subdivision的联系，小波与插值和sampling的联系，还有就是小波在调和分析里面的意义（比如可以完全刻画像Besov spaces这样比较subtle的函数空间，这点是傅立叶变化做不到的）。其实filter bank对于小波的作用就像FFT对于傅立叶变换的作用一样，提供的是一个快速算法，但是傅立叶变换的意义可远远不止是FFT，小波也一样。

第二个问题：如果小波是通过MRA构造的，那么它一定有对应的尺度函数，如果只是考虑CWT，那就不一定要引入尺度函数（不过也可以定义相应的尺度函数，详细可以参看Mallat的书的第四章）

Q9，小波消失矩
dbN小波系小波函数的消失矩阶数为N;对于bior Nr.Nd小波系，小波函数消失矩阶数为Nr-1;coif N小波系小波函数具有2N阶的消失矩；symN小波系小波函数具有N阶消失矩
在matlab中，应用 waveinfo('bior')即可获得小波函数的主要性质

Q10，离散小波变换可以分解信号到某一频率附近的信号吗?
举个例子吧.假设信号X最高频率Fh=500Hz,采样频率fs=1000Hz.ca表示小波分解的低频系数,cd为小波分解的高频系数.
对它进行3层的离散小波分解:[c,l]=wavedec(x,3,'db3');
提取低频系数:
ca1=appcoef(c,l,'db3',1);
ca2=appcoef(c,l,'db3',2);
ca3=appcoef(c,l,'db3',3);
提取高频系数:
cd1=appcoef(c,l,1);
cd2=appcoef(c,l,2);
cd3=appcoef(c,l,3);
那么ca1,ca2,ca3分量的频率范围依次分别是:0-62.5Hz,0-125Hz,0-250Hz,
cd1,cd2,cd3分量的频率范围依次分别是:62.5-125Hz,125-250Hz,250-500Hz,
所以你要观察这一信号300HZ附近的波形只要看CD3就行了.

 

 

Q11,为什么说正交小波变换系数具有去相关作用？
并不是变换系数具有去相关作用，而是正交小波变换具有去相关作用。
不单是正交小波变换具有去相关作用，所有的正交变换都具有去相关作用，如DCT、FFT、HLT等。既然是正交变换，那么它的基就是线性无关的，因此变换所得系数也是不相关的。

Q12,不用对数据进行2抽取和2插值的样快速小波分解！
本程序实现不用对数据进行2抽取和2插值的快速小波分解,只需对滤波器进行2插值即可，所以不要求数据的长度为2的幂次方，共分解了3次，然后进行了重构！！！
请版主和gjsdgjsd 帮我看看算法对不对。

clc;
clear;
f1=30;f2=100; f3=50;
fs=2*200; Ts=1/fs;  
N=121;   
n=1:N;
y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts)+sin(2*pi*f3*n*Ts);  
figure(1);
plot(y);
title('原始信号')

%%  2.小波滤波器谱分析
h=wfilters('db3','l');  %  低通
g=wfilters('db3','h');  %  高通

%% MALLET分解算法
%%第1次分解
h1=[h,zeros(1,N-length(h))];  %  补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）
g1=[g,zeros(1,N-length(g))];  %  补零
sig1=ifft(fft(y).*fft(h1));  %  低通(低频分量)
sig2=ifft(fft(y).*fft(g1));  %  高通
%%第2次分解
h2=dyadup(h);   
g2=dyadup(g);  
temph2=h2;
tempg2=g2;
lengrthh2=length(h2);
h2=h2(2:lengrthh2);  %  去掉一个零
g2=g2(2:lengrthh2);  %  去掉一个零
h2=[h2,zeros(1,N-length(h2))];  
g2=[g2,zeros(1,N-length(g2))];   
sig11=ifft(fft(sig1).*fft(h2));  %  低通
sig22=ifft(fft(sig1).*fft(g2));  %  高通
%%第3次分解
h3=dyadup(temph2);   
g3=dyadup(tempg2);   
lengrthh3=length(h3);
h3=h3(4:lengrthh3);  %  去掉开始的3个零
g3=g3(4:lengrthh3);  % 去掉开始的3个零
h3=[h3,zeros(1,N-length(h3))];  
g3=[g3,zeros(1,N-length(g3))];   
sig111=ifft(fft(sig11).*fft(h3));  %  低通
sig222=ifft(fft(sig11).*fft(g3));  %  高通

%% MALLET重构算法
%%第3层的重构
hr3=h3(end:-1:1);         %  重构低通
gr3=g3(end:-1:1);         %  重构高通
hr3=circshift(hr3',1)';   %  位置调整圆周右移一位
gr3=circshift(gr3',1)';   %  位置调整圆周右移一位

sig111=ifft(fft(hr3).*fft(sig111));  %  低频
sig222=ifft(fft(gr3).*fft(sig222));  %  高频
sigtemp=sig111+sig222; %  
sigtemp3=sigtemp/2;%!!!
%%第2层的重构
hr2=h2(end:-1:1);         %  重构低通
gr2=g2(end:-1:1);         %  重构高通

hr2=circshift(hr2',1)';   %  位置调整圆周右移一位
gr2=circshift(gr2',1)';   %  位置调整圆周右移一位

sig11=ifft(fft(hr2).*fft(sigtemp3));  %  低频
sig22=ifft(fft(gr2).*fft(sig22));  %  高频
sigtemp=sig11+sig22; %  
sigtemp1=sigtemp/2;%!!!
%%第1层的重构
hr=h1(end:-1:1);         %  重构低通
gr=g1(end:-1:1);         %  重构高通

hr=circshift(hr',1)';   %  位置调整圆周右移一位
gr=circshift(gr',1)';   %  位置调整圆周右移一位

sig1=ifft(fft(hr).*fft(sigtemp1));  %  低频
sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2));  %  高频
sig=sig1+sig2; %  重构的原始信号

%%  5.比较
figure(3)
subplot(211);plot(real(sig/2),'r','linewidth',2);
hold on;
plot(y);
legend('重构信号','原始信号')
title('重构信号与原始信号比较')
subplot(212);plot(real(sig/2)-y);
title('重构信号与原始信号的之差')

Q13,小波（基）具有物理意义吗？
选择什么样的小波主要看你的应用背景，不同小波的数学表达决定了在数学意义它有自身的特性，而这些特性决定了它的实际应用。比如：在图象处理中为了能够检测曲线，就需要选择一些具有方向性的小波：脊波，曲波，weddgelet，contourlet等等；如果你要求完全重构，线性相位等，也要选择对应特性的小波；而如果你只是去噪，一般的小波就可以了。如果要降低计算量则可以考虑具有提升格式的小波。。。。。。
总之，还是看你的应用需求了
简单的说，传统的小波（比如db）它是各向同性的，在三维图中它是一个理想点的峰；方向性小波是一大类小波而已，方向性小波由于构造的特殊具有一定的方向性，在三维图中是一个沿着某个方向的脊，利用这个特性，所谓的方向性小波可以检测图象中的各种曲线。

Q14,curvelet的各向异性体现在哪些地方？
比如消噪，它可以将图像分为几个不同方向信息的子块。但噪声由于不具备方向性的特点，所以只在某几个方向上才存在，这样消噪起来很有力。我们这边同学有人用contourlet做那个大狮子图像，居然psnr能达到40db。

Q15,小波变换能提高自然图象的峭度?
我曾经看到某文章说过经过小波变换后的高频子图会呈现出LAPLACE分布,而LAPLACE分布正是一种超高斯分布,具有更大的峭度.
但是又查阅了相关资料,里面说小波域高频率子图仍然介于高斯分布和LAPLACE分布之间,关键看那个参数阿尔法,取1则LAPLACE,取2则高斯.
小波域高频子图的像素分布情况到底如何呢?跟选取的小波类型/图象类型有什么关系?
Personally, I am also interested in the distribution of wavelet coefficients. I tested them for the 3D shape and the histogram can be perfectly fitted by Laplace distribution. This is also true for most of the natural images. Of cause, if the image is man-made, it can satisfy any prediscribed distribution (could be a really weird one). To prove this, just think of

any weird distribution. Then you created a set of wavelet coefficients according to this distribution and then choose any low frequency coefficients, run inverse transform, you got the image. But for nature image or some image that actually make sense, I think the distribution of wavelet coefficients for any chosen wavelet basis should be a Laplacian. I don't if this is always true.

Q16,小波快速算法先列后行,和先行后列有影响吗
没有区别.只是重构时你的滤波器也要对应
重构时也没关系，总体是个tensor product，只要行列数一样多就可以打乱次序，任意打乱也没问题，比如先做3层行，再做4层列，再做一层行也可以。

Q17,小波基怎么选择？
我在用小波处理一维信号的时，如何选择小波基如Haar、db、sym等，我是外专业的，搞不懂这些小波基如何与我现在要做的匹配。是不是不同的小波基适合不同的信号？或是通过处理结果的误差的控制来选择？谢谢
一般从线性相位，消失矩，相似性，紧支撑等来选择。不知道你做的是什么问题？

Q18,Riesz基的定义是什么？
A1满足框架条件的线性无关基。
A2线性独立基，但不正交。通过正交化过程可将Rieze基转化为正交基。