只考加法的面试题——将一个正整数表示成连续的自然数序列之和

我们知道：

1+2 = 3；

4+5 = 9；

2+3+4 = 9。

等式的左边都是两个以上连续的自然数相加，那么是不是所有的整数都可以写成这样的形式呢？稍微考虑一下，我们发现，4和8等数不能写成这样的形式。

问题1：写一个程序，对于一个64位的正整数，输出它所有可能的连续自然数（两个以上）之和的算式。

问题2：大家在测试上面的程序的过程中，肯定会注意到有一些数字不能表达为一系列连续的自然数之和，例如32好像就找不到。那么，这样的数字有什么规律呢？能否证明你的结论？

问题3：在64位正整数范围内，子序列数目最多的数是哪一个？这个问题要用程序蛮力搜索，恐怕要运行很长时间，能够用数学知识推导出来？

问题1解答：对于任意的正整数n >= 3（1和2均不能写成连续的自然数序列之和）。假设n能够写成自然数序列[seqStart, seqEnd]之和，则有(seqEnd + seqStart)*(seqEnd - seqStart + 1) = 2*n。考虑左式是两个整数之积，想到对右边的2*n进行因数分解，不妨假定2*n = minFactor * maxFactor，则有

seqEnd + seqStart = maxFactor(1)

seqEnd - seqStart = minFactor - 1(2)

解方程组(1)(2)得：

seqStart = (maxFactor - minFactor + 1) / 2

seqEnd = (maxFactor + minFactor - 1) / 2

因为maxFactor - minFactor与maxFactor + minFactor有相同的奇偶性，因此只需要判断maxFactor + minFactor的奇偶性即可，如果maxFactor + minFactor为奇数，那么seqStart和seqEnd不是分数，是整数，即这个序列存在。下面是代码：

 int plusSequence(unsigned int n){int count = 0;int sqrtN = static_cast<int>(sqrt(static_cast<double>(2*n)));for(int i = 2; i <= sqrtN; ++ i){if(2*n % i == 0) // if the current i is the factor of 2*n{int minFactor = i;int maxFactor = 2*n / i;/* Judge if (minFactor + maxFactor) is odd, if it is, * it means that the n is the sum of a natural number sequence */if(((minFactor + maxFactor) & 0x00000001) == 1) {count ++;int seqStart = (maxFactor - minFactor + 1) >> 1;int seqEnd = (maxFactor + minFactor - 1) >> 1;printf("count %d is closed interval [%d, %d]/n", count, seqStart, seqEnd);}}}return count;} 

问题二解答：

对于任意的奇数n = 2*k + 1(k >= 1)，均可以写成[k, k + 1]之和，因此所有的奇数均满足条件。

对于每一个偶数，均可以分解为质因数之积，即n = pow(2, i)*pow(3, j)*pow(5,k)...，如果除了i之外，j,k...均为0，那么n = pow(2, k)，对于这种数，其所有的因数均为偶数，观察上面的代码，14行要求两个因数之和为奇数，因此2的幂均不满足条件。对于非2的幂的偶数，均可以写成一个奇数和偶数之积，因此满足14行的条件，说明可以写成一个连续的自然数之和。因此除了2的幂之外，所有的正整数n >=3均可以写成一个连续的自然数之和。

问题三解答：

前面就当是抛砖引玉，问题三还没有解答出来，如果大家有什么思路，可以联系我。

注：上面的程序并没有考虑整数很大，导致溢出的情况。