bezier 曲线

Bezier曲线会落在 convex hull之内，不会有不可预期形状

　　Bezier曲线有整体修正(globallymodification)之特性 – 也就是更动任一控制点会更改整条曲线之形状

　　Bezier曲线所有混成函数的和为 1

　　Bezier曲线的反曲点之数少於控制多边形之边数

　　Bezier曲线与一平面的相交点之数少於该平面与控制多边形之的相交点之数

　　一、Bezier曲线定义：　　给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n)，则Bezier曲线定义为：

　　P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1]?

　　其中：Bi,n(t)称为基函数。

　　Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i

　　Ci n=n!/(i!*(n-i)!)

　　二、Bezier曲线性质

　　1、端点性质：

　　a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。

　　b）P’(0)=n(P1-P0),P’(1)=n(Pn-Pn-1)

　　即：在二端点与控制多边形相切。

　　2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。

　　3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。

　　4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1(t)

　　在CAD/CAM中，常采用Bezier曲线曲面，这样便于理解曲线/曲面。但采用Bezier形式的曲线曲面不能精确的表示二次曲线和二次曲面，如球体和圆。将多项式改为有理形式，不仅能精确表示二次曲线和二次曲面，且增加了设计的自由度。重复的进行两点线性插值，可以构造BezierCurve。重复的进行两点有理插值，可以构造有理Bezier Curve。

　　与控制顶点类似，有理Bezter曲线上的点可映射为Bezter曲线上的点或对应的控制多边形上的点。在透视投影使用理形式与非有理形式产生相同投影时，有理Besier曲线曲面和有理B样条曲线曲面继承了Bezier曲线曲面和B样条曲线曲面的简单、优美的特性。这种形式，数学上的分析及几何特性的掌握了解都比其他4D空间(wx、wy、wz、w)方法和单纯的3D空间有理形式要简单和容易。

　　现在，有理曲线曲面不仅仅用于表示和构造二次曲线曲面。对有理曲线曲面的权因子该如何选取往往不很清楚，而且有理形式的计算比非有理形式复杂，但是，由于其构造特性，现在人们已经开始考虑有理Bezter和有理B样条曲线曲面的应用

 B-Spline样条和二次Bezier曲线的一种实现方法

                               吕雪松

在地理信息系统的应用中，经常会涉及到光滑曲线的应用；而光滑曲线的应用，既要解决适合计算机处理，且有效地满足空间表示与几何表现要求，又便于形状信息传递和地理数据交换的空间描述。1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。
B样条曲线的坐标位置可表示为：

B样条具有以下性质：
• 在u值域内，多项式次数为d-1
• 对于n+1个控制点，曲线由n+1个混合函数描述
• 每个混合函数Bk,d定义域为u值域的d子区间，以节点向量值uk为起点。
• 参数u的值域由n+d+1个给定节点向量值分成n+d个子区间
•节点记为{u0，u1，u2,…,un+d}，生成的样条曲线仅定义在从节点值ud-1到节点值un+1区间上
• 每个样条曲线段（在两个相邻节点值间）受d个控制点影响。
• 一个控制点可以影响最多d个曲线段的影响。

Bezier曲线最直接的表现为除端点外，不过控制点的光滑曲线，在整个周期范围内可求导，任意控制点的变化都会影响其形状。Bezier曲线的数学描述为
Bezier曲线具有以下特征：
• 端点与特征多边形起点或终点重合，且与特征多边形边形相切；
• Bezier曲线具有对称性，即控制点顺序的反向调整不改变整个曲线的形状；
• 曲线均位于特征多边形构成凸包之中；

抛开复杂的数字理论模型不谈，应该说，B样条和Bezier贝塞尔曲线是地理信息系统中两种最常用的光滑曲线，或者说是两种最常用的曲线插值算法，二者之间不存在优劣之分，都可以分别应用在曲面光滑、曲线注记、TTF符号优化等环境中。如下所示两条过相同控制点的样条曲线和Bezier曲线的形状。

在实现上，利用面向对象的方法来构造曲线类的层次结构，如下图所示：
所有的类都从一个CGeoObject的虚基类派生，它是所有地物的共同基类，通过它，还可以派生诸如点、多边形、Arc、圆/椭圆、Pie等地物类型。在此基类中，构造了所有地物都具有的基本属性：坐标点链表。
从CGeoObject派生出CGeoLine，此类是用来描述由两个和两个以上坐标点构成的强调长度、不强调面积的地物类型；从此类可以派生出CGeoSimpleLine（由两点构成的单线）、CGeoSegmentLine（二个以上点构成的线地物）、CGeoPolyline（封闭线）、CGeoParallelLine（平行线）等。
CGeoSmoothLine是从CGeoLine派生出的光滑曲线的地物类，它的坐标点链表中存储的是原始的控制点信息，然后通过一个Build()纯虚函数，在其派生类中实现插值，根据指定的阶数，由控制点插值生成TGeoCurve类实例，即生成光滑曲线的插值坐标点。
CGeoSpline和CGeoBezier是从CGeoSmoothLine派生的样条曲线和贝塞尔曲线的类定义。

以下为VC中实现的以上类结构定义：

class CGeoObject
{
public:
CGeoRect rect;
vector<CGeoPoint*> ptList;

};

class CGeoPoint : public CGeoObject
{
public:
double dx, dy, dz;
};
//线地物类定义

class CGeoLine : public CGeoObject
{};

class CGeoCurve;
//光滑曲线类定义
class CGeoSmoothLine : public CGeoLine
{
public:
vector<CGeoCurve*> curvePts;//曲线段链表
public:
CGeoSmoothLine();
virtual void Build() = 0; //插值
};

//曲线段定义
class CGeoCurve
{
public:
CGeoCurve();
};

//样条曲线类定义
class CSpline : public CGeoSmoothLine
{
public:
int nFactor;
public:
CSpline();
virtual ~CSpline() {};
void Initialize() {};
void Generate() {};
void MatrixSolve() {};
void MatrixSolveEx() {};
virtual void Build() {}; //样条插值
};

//贝塞尔曲线类定义
class CGeoBezier : public CGeoSmoothLine
{
public:
int nSmoothFactor; //插值光滑度
public:
CGeoBezier(); //构造函数
double GetBinomialCoefficient(int m, int i) {}; //获得多项式系数
virtual void Build() {}; //贝塞尔曲线插值
};

以下为样条曲线的插值算法：

void TGeoSpline::Generate()
{
float AMag , AMagOld;
    // vectorA
for(int i= 0 ; i<=NP-2 ; i++ )
{
Ax[i] = Px[i+1] - Px[i];
Ay[i] = Py[i+1] - Py[i];
}
// k
AMagOld = (float)sqrt(Ax[0]*Ax[0] + Ay[0]*Ay[0]);
for(i=0 ; i<=NP-3 ; i++)
{
AMag = (float)sqrt(Ax[i+1]*Ax[i+1] + Ay[i+1]*Ay[i+1]);
k[i] = AMagOld / AMag;
AMagOld = AMag;
}
k[NP-2] = 1.0f;

// Matrix
for(i=1; i<=NP-2;i++)
{
Mat[0][i] = 1.0f;
Mat[1][i] = 2.0f*k[i-1]*(1.0f + k[i-1]);
Mat[2][i] = k[i-1]*k[i-1]*k[i];
}
Mat[1][0] = 2.0f;
Mat[2][0] = k[0];
Mat[0][NP-1] = 1.0f;
Mat[1][NP-1] = 2.0f*k[NP-2];

//
for(i=1; i<=NP-2;i++)
{
Bx[i] = 3.0f*(Ax[i-1] + k[i-1]*k[i-1]*Ax[i]);
By[i] = 3.0f*(Ay[i-1] + k[i-1]*k[i-1]*Ay[i]);
}
Bx[0] = 3.0f*Ax[0];
By[0] = 3.0f*Ay[0];
Bx[NP-1] = 3.0f*Ax[NP-2];
By[NP-1] = 3.0f*Ay[NP-2];

//
MatrixSolve(Bx);
MatrixSolve(By);

for(i=0 ; i<=NP-2 ; i++ )
{
Cx[i] = k[i]*Bx[i+1];
Cy[i] = k[i]*By[i+1];
}
}

一、Bezier曲线定义：
给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：
P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1]
其中：Bi,n(t)称为基函数。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i
Ci n=n!/(i!*(n-i)!)

二、Bezier曲线性质
1、端点性质：
a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1)
即：在二端点与控制多边形相切。
2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。
3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。
4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)