博弈之美（转）

博弈中有两个关键词：概率和策略。

以前只抓住了概率缺忽略了策略。例如，赌客和庄家的每次对赌获胜概率都为50%，并且每次对赌不相关，就简单的认为对赌的越久，赌客赢钱和输钱的概 率都趋近于0，即不赔不赚。如果你同意上面的这句话，恭喜，这的典型的忽略策略的表现。因为它隐含的策略是赌客每次下的赌注都一样。这样收益才可能与概率 相同。非常明显，因为人人都这么想，这并不是什么高明的策略。

 

一、如何才能在获胜概率为50%的前提下，保证收益？

事实上，在概率一定的情况下，选用合适的策略是能达到这样的目的的。

如果满足以下条件：

1、赌客可以选择赌博金额的大小。

2、赌客可以选择什么时候结束赌博。

3、赌客具有相对无限的本金。

那么“合适的策略”是：

1、赌局开始和每次赢钱后都以相同的基数再次放入赌局对赌，例如10元。

2、如果输钱，则再放入赌桌的钱为输掉钱的两倍。

事实上，我发现，赌客如果在赢钱后离开赌桌，那么他赢得的钱将是：赢的次数*基数。因为每次赢钱总能将以前所有的亏钱填满并多出10的赢利。

高赢率，例如不是50%的胜率而是90%的胜率，能保证相同赌博次数内赢的次数更多；更高的基数，例如不是10元而是100元，能保证每次赢的收入更多。

举个例子，例如我的胜率是50%，每次赌博下注的基数是10,，那么在赌博100次后，我赢钱的期望为100*50%*10=500。虽然实际中可能有上下的浮动，但我的收益是可以估算出来的。

 

二、下注的基数是不是越大越好？

在和同学的讨论中我们发现，胜率是越高越好的，而赌博基数却显得比较暧昧。

基数的选的越大，虽然每次赢利越多，但承担的亏钱风险却越大，因为现实中的本金总是有上限的。

例如，10元钱连续亏本10次就会折去5120元的本金，而这种事件发生的概率为1/1024。并不是一个很小的概率，可恶的是，为了降低风险，必须降低基数，而基数的降低会带来收益减少。

 

三、基数的降低会带来收益减少，事实真的是这样的吗？

当然不是，通过分散基数投入多个市场（多个赌场），并在小概率事件发生时止损，就可以有效的分散风险。

举例：将10元钱分散为10个1元投入10个赌桌同时对赌，假如一天赌场每张赌桌只能赌博100次，每张赌桌收益为100*50%*1=50，那么10张赌桌的收益就为50*10=500。这与将10元放在一张赌桌上的收益相同。

但风险被缩小了！

假如本金为1W，基数为10元仅仅需连续输钱10次就能让赌客破产，这样的事件概率为1/1024。

而当基数10元被分散为1元时，连续输钱10次仅让赌客损失512，赌客破产需要连续输上14次，这样事件的概率为1/16384。比前一种做法小了16倍。

 

四、1/16384的概率很诱人，但我不喜欢赌，风险可以更小吗？

当然有，更明智的做法是止损，概率为1/1024的事件发生时，就及时承认损失出场。这样，剩下的9张赌桌还在为赌客赚钱，常用这种策略，破产的概率是1024的10次方=1.2676506 × 1030 ，即10张赌桌同时发生1/1024概率的连输10次事件才会破产，这样低的概率可以认为赌客不会破产。

更让人心动的是，分散对收益的期望相同很小：

分散前的期望=10*50%*10-(1/1024)*5120=45

分散后的期望=10*50%*1*10-(1/1024)*512*10=45

由此可见，合适的策略不但带来意想不到的赢利，还能有效的降低风险。（你能看出以上描述的错误之处么？见第五点）

重申一遍合适的策略：

1、赌局开始和每次赢钱后都以相同的基数再次放入赌局对赌。

2、如果输钱，则再放入赌桌的钱为输掉钱的两倍。

3、控制每张赌桌的基数，增加同时对赌的桌数。

 

五、但是，合适的策略还是有漏洞的！

我们不能拿事先估计的对赌次数来计算期望，因为我们假设对赌10次，但再第十次输掉的时候必须继续赌，直到赢回来才能收手，这样才符合第2条策略，那么对赌的次数就不是10次，而是一个未知数了，但赌到止损，胜利的次数是一定的。

如果假设加入止损行为，那么收益的期望变为：10*50%*1-(1/1024)*512*10=0

如果将止损线改为4，收益期望为仍为0：10*50%*1-(1/4)*2*10=0

期望还是为0，那么赌的次数越多，越可以在一次小概率事件后回到解放前。

结果是：要么不发生小概率事件，一发生的后果就是白忙一场！因为现实中打不到资金无上限的要求。

策略帮助我们在大部分时候获得收益，但不能规避小概率事件发生带来的期望归零。

 

六、难道注定竹篮打水一场空？

这时候还要回归概率！如果赌客胜率略大于50%，发现这一切实在是太妙了。绝妙处不来自于大部分时候收益的提高，而是极大的规避了小概率事件，因为我们注意到小概率事件发生的概率是（1-赌客胜率）的N次方，N是赌博次数或是资金上限对应的N。

举例：胜率由50%提高到了51%

收益期望=10*51%*1-(49%的10次方)*512*10=5.1-4.085=1.014

效果非常明显，即使是1个百分点胜率的浮动，带来的收益期望是从0上升到了1.014

如果 胜率由51%提高到了52%

收益期望=10*52%*1-(48%的10次方)*512*10=5.2-3.324=1.875

虽然有上升，但效用不及第一个上升的百分之一！

随着概率的进一步增大，边际效用递减明显，而且易被察觉。所以，事实上，只需要最初提高的1%概率既可以保证收益。而收益的来源不是开源，而是节流，减小了小概率事件的发生！