关于任意群是否都是可以由其元素生成，及群中心与元素正规化子关系的分析（2009及1997群论真题）

前两天看到CD超给出的证明2009最后一题G为循环群的证明，他是用生成元来证的，而我是用拉格朗日加循环群性质才证明出来，只是产生疑问：群是否都可以用元素来生成？

答：有任意限群G可以由集合S生成，是否可以由G的元素(eg.a,b是G中元素，S={a,b},G=<{a,b}>)来生成，需要看S是否全部包含在G的生成元中。

先来看维基百科http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%BE%A4%E7%9A%84%E7%94%9F%E6%88%90%E9%9B%86%E5%90%88

  

在抽象代数中，群 G 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。

 

更一般的说，如果 S 是群 G 的子集，则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，这意味着它是包含 S 元素的所有子群的交集；等价的说，<S> 是可以用 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积表达的 G 的所有元素的子群。

 

如果 G = <S>，则我们称 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。

如果 S 是空集，则 <S> 是平凡群 {e}，因为我们认为空乘积是单位元。

如果 S 中只有一个单一元素 x ，<S> 通常写为 <x>。在这种情况下，<x> 是 x 的幂的循环子群，我们称这个循环群是用 x 生成的。与声称一个元素 x 生成一个群等价，还可以声称它有阶 |G|，或者说 <x> 等于整个群 G。

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题目如下：

 

 

先来看 课本例题结论：

且

CD超的证明：设H是G的子群，

                     则a是G中元素，G的子群H可以由a生成，即H=<a>,

                     假设G不是循环群，则G中存在b不等于a，且H=<b>,

                     与题干中G只有一个非平凡子群矛盾，

                     故G是循环群。 

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看过他的证明，总觉得欠妥，于是参考了基维百科的定义后我给出下面的证明：

（下面的这个证明是我能想出来的非常完美的一个证明）：

         设非空集合S是群G的子集，且S不等于G，

              则S所生成的子群<S>是包含所有S的元素的G的最小子群，即<S>是G的生成子群,即<S>是G的子群。

         假设G不是循环群，即|S|不小于1，取S中的任一元素a,则<a>是<S>的子群，也是G的子群，且a属于S,且|S|不小于1,与已知G只有一个非平凡的子群矛盾，

         故|S|只能等于1(否则，|S|=0即S为空集，则有<S>={e},与题干矛盾),则G=<S>=<a>是循环群。

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或者这么来证明：

证明：由于G只有一个非平凡的子群，设H为G的子群，

         设非空集合S是群G的子集，且S不等于G，

         则S所生成的子群<S>是包含所有S的元素的G的最小子群。

         假设G不是循环群，对于S中任意元素a,b,且a不等于b,

         会有H=<a>,H=<b>成立，与已知G只有一个非平凡的子群矛盾，

         则G是循环群。

红字部分必须是子群H，不能用“G=<a>,G=<b>成立”替代，因为G=<a>,G=<b>不成立，根据：如果 S 是群 G 的子集，则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群。再者若S={a,b},才有G=<{a,b}>。

      

-------------------------------------联想到的：

其实我这么做了以后,我在想对称群A4,阶为12,它的没有6阶子群。哦，与本题无关了。

那就再想到几道例题的结论：

阶小于6的群都是循环群。

6阶群G在同构意义下有2个群：

若没有6阶元，则G不是循环群则必与S3同构;

若有   6阶元，则G是   循环群。

但6阶群G一定含有3阶元，但不一定必含1阶，2阶，3阶，6阶元。（粉色部分是自己推出来的）

阶为2p的群，在同构意义上只有2个群。

-------------------------------------联想到的：

还想到前几日小一妹妹在群里问的一道题：

10阶群G必有唯一的5阶元：

我是这么给出证明的：

存在性：

10阶群G，是偶阶群，必含2阶元，令a就是这个2阶元，然后讨论：

若G 有10阶元，则设a就是这个10阶元，那么a^2就是这个5阶元。

若G没有10阶元，除了一阶元（单位元）外，只有2阶元。G中所有元素a都满足a^2=e,即a^-1=a,取G中任意两个元素a,b：

 

ab=(ab)^-1=(b^-1)(a^-1)=ba,G是Abel群，取G中非单位元a和b，令H={e,a,b,ab},易证H是G的子群，但|G|无法被|H|整除，与拉格朗日定理矛盾。故必含5阶元。      

 

唯一性：

易证设a为2阶元则<a>和5阶群都为循环群（阶为素数的群为循环群），那么可以假设还有一个5阶子群<b>，由S 是群 G 的子集，则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，如果 S 中只有一个单一元素 x ，<S> 通常写为 <x>。在这种情况下，<x> 是 x 的幂的循环子群知:<b>就是那个5阶群。

唯一性得证。

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这个题还可以这么证明：（大部分题，这样按照下面的做法都可以拿到全分）

存在性证明：

         G中只可能有1阶，2阶，5阶，10阶元。

         G中的1阶元是e；

         若G中的10阶元是a，那么a^2就是G中的5阶元。

         若G中不含10阶元，那么G中非单位元的只有2阶，5阶元，那么下面有反正法证必含5阶元。若不然，G中所有元素a都满足a^2=e,即a^-1=a,取G中任意两个元素a,b：

ab=(ab)^-1=(b^-1)(a^-1)=ba,G是Abel群，取G中非单位元a和b，令H={e,a,b,ab},易证H是G的子群，但|G|无法被|H|整除，与拉格朗日定理矛盾。故必含5阶元。      

 

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在2009年那道真题中，我实际用的时候没有这么简单的想，因为对于群是否可以由任意元素来生成没有根据，所以这里翻墙到维基百科查了一下，觉得应该这么去证明吧。

 

但是我证明的时候，用到这几点：

根据拉格朗日定理得到G的非平凡群为G的正规子群，有假设子群的阶推出G为偶数阶群，而偶数阶群必有2阶元，再根据2阶元可以交换G中任意元素得到G是循环群，部分证明如下：

没有拍完，后面的证明类似课本证明课本中X^2=e得出来交换性，然后可以得到G为循环群。

第二问的答案在：http://blog.csdn.net/mygodhome/archive/2010/11/19/6021567.aspx

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再来看1997年一道真题：

 

上图绿字部分为 群中心与元素正规化子关系

 

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有限生成群：

 

如果 S 是有限的，则群 G = <S> 叫做有限生成群。有限生成阿贝尔群的结构特别容易描述。很多对有限生成群成立的定理对一般的群无效。

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自由群：由集合 S 生成的最一般的群是 S 自由生成的群。所有 S 生成的群同构于这个群的因子群，这个特征实用于一个群的展示的表达中。

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例子：

 

 

可逆元的群 U(Z₉) 是所有的互素于 9 的整数在 mod 9 乘法下的群(U₉ ={1,2,4,5,7,8})。这里的所有算术都要模以 9 。7 不是 U(Z₉) 的生成元，因为

 

而2是，因为 

 

 

 

 

群的生成集合：

  

所有有限群是有限生成群，因为 <G> = G。整数集在加法下的群是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的无限群的例子，但是有理数集在加法下的群不能有限生成。不可数群都不能有限生成。

同一个群的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是gcd(p, q) = 1 的整数，则 <{p, q}> 还生成整数集在加法下的群(根据贝祖等式)。

尽管有限生成群的所有商群是有限生成群为真(简单的在商群中选取生成元的像)，

 

有限生成群的子群不必须是有限生成群，例如，设 G 是有两个生成元 x 和 y 的自由群，(它明显是有限生成群，因为 G = <{x,y}>)，并设 S 是由形如 yⁿxy⁻ⁿ 的所有 G 的元素构成子集，这里的 n 是自然数。因为 <S> 明显同构于有可数个生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论，选取(有限生成)正规子群和商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了这个群。

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补充几点循环群的知识点：

 

其中这个例子如按照PKU课本来做是不对，

，

若按照PKU教材定理逆复合，来验证验证（15236）是不等于(15)(12)(13)(16)，

按照PKU指定的教材中的定理，应该有：            (15236)= (16)(13)(12)(15)

如此对比可以知道：此处剪贴的例题中用的乘运算（复合），是正序复合，而PKU课本中在第3章函数部分就已经说明，关于复合在PKU中都是指逆复合。

若每个轮换不交，轮换之间可以无序。