(转)最大流算法

原帖链接http://www.cnblogs.com/zhuangli/archive/2008/08/01/1258417.html

1.    最大流最小割定理介绍：

把一个流网络的顶点集划分成两个集合S和T，使得源点s ∈S且汇点t ∈T，割(S,T)的容量C(S,T) =∑Cuv, 其中u∈S且v∈T。

从直观上看，截集(S,T)是从源点s到汇点t的必经之路，如果该路堵塞则流从s无法到达t。于是我们可以得到下面的定理：

 

最大流最小割定理：

任意一个流网络的最大流量等于该网络的最小的割的容量。

 

这个定理的证明这里就不给出了，可以参考图论方面的资料。

 

2.    求最大流的Edmonds-Karp算法简介：

 

若给定一个可行流F=(Fij)，我们把网络中使Fij=Cij的弧称为饱和弧，Fij<Cij的弧称为未饱和弧。如果流网络中从i到j没有弧，我们添加一条从i到j且容量Cij=0的弧，这样整个流网络变成一个完全图。如果从i到j有流量Fij，则从j到i的流量定义为Fji = -Fij 。考虑一条从源点s出发到汇点t的路径p，如果对于每一段弧(i,j)属于p都有Fij < Cij，即每一条属于p的弧都是未饱和弧，则我们可以向这条路径上压入更多的流，使得其中的一条弧达到饱和。这样的路径p叫做可改进路，可压入的流量叫做该可改进路的可改进流量。重复这个过程，直到整个网络找不到一条可改进路，显然这时候网络的流量达到最大。Edmonds-Karp算法就是利用宽度优先不断地找一条从s到t的可改进路，然后改进流量，一直到找不到可改进路为止。由于用宽度优先，每次找到的可改进路是最短的可改进路，通过分析可以知道其复杂度为O(VE2)。

 

Edmonds-Karp算法的伪代码如下：

 

设队列Q--存储当前未检查的标号点，队首节点出队后，成为已检查的标点；

path -- 存储当前已标号可改进路经；

 

repeat

       path置空;

       源点s标号并进入path和Q;

       while  Q非空  and  汇点t未标号 do

              begin

                     移出Q的队首顶点u;

                     for 每一条从u出发的弧(u,v) do

                            if  v未标号 and 弧(u,v)的流量可改进

then v进入队列Q和path;

              end while

       if 汇点已标号

then 从汇点出发沿着path修正可改进路的流量;

until 汇点未标号;

 

Edmonds-Karp算法有一个很重要的性质：当汇点未标号而导致算法结束的时候，那些已经标号的节点构成集合S，未标号的节点构成集合T，割(S,T)恰好是该流网络的最小割；且这样求出的最小割(S,T)中集合S的元素数目一定是最少的。

 

寻找最大流的基本方法是Ford-Fulkerson方法，该方法有多种实现，其基本思想是从某个可行流F出发，找到关于这个流的一个可改进路经P，然后沿着P调整F，对新的可行流试图寻找关于他的可改进路经，如此反复直至求得最大流。现在要找最小费用的最大流，可以证明，若F是流量为V(F)的流中费用最小者，而P是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路，则沿着P去调整F,得到的可行流F'一定是流量为V(F')的所有可行流中的最小费用流。这样，当F是最大流时候，他就是所要求的最小费用最大流。

 

注意到每条边的单位流量费用B(i,j)≥0，所以F=0必是流量为0的最小费用流，这样总可以从F=0出发求出最小费用最大流。一般的，设已知F是流量V(F)的最小费用流，余下的问题就是如何去寻找关于F的最小费用可改进路。为此我们将原网络中的每条弧<u,v>变成两条方向相反的弧：

 

1。前向弧<u,v>，容量C和费用B不变，流量F为0；

2。后向弧<v,u>，容量C为0，费用为-B，流量F为0；

 

每一个顶点上设置一个参数CT，表示源点至该顶点的通路上的费用和。如果我们得出一条关于F的最小费用可改进路时，则该路上的每一个顶点的CT值相对于其它可改进路来说是最小的。每一次寻找最小费用可改进路时前，源点的CT为0，其它顶点的CT为+∞。

 

设cost为流的运输费用，初始时由于F=0,则cost=0,我们每求出一条关于F的最小费用可改进路，则通过cost ← cost + ∑B(e)*d, （其中e∈P,d为P的可改进量）来累积流的运输费用的增加量。

 

显然，当求出最小费用最大流时，cost便成为最大流的运输费用了。

 

另外设置布尔变量break为最小费用可改进路的延伸标志，在搜索了网络中的每一个顶点后，若break=true表示可改进路还可以延伸，还需要重新搜索网络中的顶点；否则说明最小费用的可改进路已经找到或者最大流已经求出。

 

 

 

本人说明:

 

这个模版的代码完全按照BFS从源点逐个遍历增广路径,得到最大增广容量,通过不断调整,最后求得最大流量,值得注意的是,最后一次BFS后所标的路线即为最小截集,即所谓的瓶颈,据此很容易求出最小截集的容量。

 

 

 

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
//邻接阵实现
const long MAXN=1000;
const long lmax=0x7FFFFFFF;
long Net[MAXN][MAXN];//残余网络
long Path[MAXN];//增广路径
long Lv[MAXN];//增广路径通过容量
queue<long> q;
long m,n;//点，边
long Start,End;

void init()
{
    while (!q.empty())
    {
        q.pop();
    }
    memset(Path,-1,sizeof(Path));
}

long Min(long a,long b)
{
    return a<b?a:b;
}

long bfs()
{
    init();
    Path[Start]=0;
    Lv[Start]=lmax;

    q.push(Start);

    while (!q.empty())
    {
        long t=q.front();
        q.pop();

        if (t==End)
        {
            break;
        }

        long i;
        for (i=1;i<=m;++i)
        {
            if (i!=Start&&Path[i]==-1&&Net[t][i])
            {
                Lv[i]=Min(Lv[t],Net[t][i]);
                q.push(i);
                Path[i]=t;
            }
        }
    }

    if (Path[End]==-1)
    {
        return -1;
    }

    return Lv[m];
}

void print(long n)
{
    printf("%ld/n",n);
}

void Ford_Fulkerson()
{
    long i;
    long Max_Flow=0;


    for (i=0;i<n;++i)
    {
        long from,to,cost;
        scanf("%ld %ld %ld",&from,&to,&cost);
        Net[from][to]=cost;//cost为剩余量
        //如果在现有网络上扩展 剩余量为容量-已占用量
        //最大流结果要加上已流入的量
    }

    scanf("%ld %ld",&Start,&End);

    long step;
    while ((step=bfs())!=-1)//反搜增广路径并调整流量
    {
        Max_Flow+=step;
        long now=End;
        while (now!=Start)
        {
            long pre=Path[now];
            Net[pre][now]-=step;
            Net[now][pre]+=step;
            now=pre;
        }
    }

    print(Max_Flow);
}



int main()
{

    while (scanf("%ld %ld",&m,&n)!=EOF)
    {
        Ford_Fulkerson();
    }
    return 0;
}